Хавьер Фресан - Мир математики - m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).

Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.

Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.

129

Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <���а> изоморфна прямому произведению циклических групп <���а m> и <���а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.

Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение

φ:→ <���а m> × ,

которое ставит в соответствие элементу а группы <���а> пару ((a m) ui,(a r) vi). Так как а имеет порядок n, получим, что а i= а i+knдля любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для а iи а i+knсовпадают. Для этого заметим, что

(a m) u(i+kn)= (a m) ui(a n) ukm= (a m) uie ukm= (a m) ui

так как а n= е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(а i) = φ(а i+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим

φ(e) = φ(a 0) = ((a m) 0, (a r) 0) = (e, e) = e.

Рассмотрим второе условие:

φ(a ia j) = φ(a i+j) = ((a m) u(i+j), (a r) u(i+j)) = ((a m) ui(a m) uj, (a r) vi(a r) vj) = ((a m) ui(a r) vi, (a m) ui(a r) vi) = φ(a i) φ(a j),

так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.

Для этого заметим, что <���а> и <���а m> х <���а r> — группы одного порядка. В самом деле, элементы а mи а rимеют порядок r и m соответственно, так как

(а m) r= (а r) m== a mr= a n

а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <���а m> х <���а r> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <���а>.

130

С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(а i) = е следует а i= е. Если φ(а i) — нейтральный элемент, то а mui= а rvi= е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно а i= е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.

Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.

Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде a ib i, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).

Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <���а> × → G, которая ставит в соответствие пару (а i, b i) элементу a ib iгруппы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.

Следовательно, запись а ib iможет быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены а ib i, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.

Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).