Анатолий Фоменко - Числа против лжи.

Эту последовательность можно изобразить вектором а(X) в евклидовом пространстве R nразмерности n. Например, в случае двух локальных максимумов, то есть если n = 3, получаем целочисленный вектор a(X) = (x 1, x 2, x 3) в трехмерном пространстве. Назовем вектор a(X) = (х 1,…, x n) ВЕКТОРОМ ЛОКАЛЬНЫХ МАКСИМУМОВ летописи X.

Для другой летописи Y мы получим, вообще говоря, другой вектор a(Y) = (у 1,…, y m). Будем считать, что летопись Y описывает события на интервале времени (С, D), длина которого равна длине интервала (А, В), то есть B-A = D-С. Чтобы сравнить графики объемов летописей X и Y, мы предварительно совместим друг с другом два отрезка времени (А, В) и (С, D) одинаковой длины, наложим их друг на друга. Конечно, число локальных максимумов у графиков vol X(t) и vol Y(t) может быть различно. Однако без ограничения общности можно считать, что число максимумов одинаково, а потому векторы а(X) и a(Y) двух сравниваемых летописей X и Y имеют одинаковое число координат. В самом деле, если число максимумов у двух сравниваемых графиков различно, то можно поступить так. Будем считать некоторые максимумы КРАТНЫМИ, то есть считать, что в этой точке слились вместе несколько локальных максимумов. При этом, длины соответствующих отрезков, отвечающих этим кратным максимумам, можно считать равными нулю. Пользуясь этим соглашением, можно очевидно уравнять число локальных максимумов у графиков объемов летописей X и Y. Конечно, такая операция, — введение кратных максимумов, — неоднозначна. Фиксируем пока какой-либо вариант введения кратных максимумов. В дальнейшем мы избавимся от указанной неоднозначности, минимизировав нужные нам коэффициенты близости по всем возможным способам введения кратных максимумов. Отметим, что введение кратных максимумов означает, что у вектора а(X) на некоторых местах появляются нулевые компоненты, то есть отрезки нулевой длины.

Итак, сравнивая летописи X и Y, можно считать, что оба вектора a(X) = (x 1,…, x n) и a(Y) = (y 1,…, y n) имеют одно и то же число координат и поэтому лежат в одном и том же евклидовом пространстве R n. Отметим, что у каждого из этих векторов сумма его координат — одна и та же и равна B-А = D-С, то есть длине интервала времени (А, В). Итак:

X 1+ … + x n= y 1+ … y n= В - А.

Рассмотрим теперь множество всех целочисленных векторов с = (c 1,…, c n), у которых все координаты неотрицательны и их сумма c 1+ … + c nравна одному и тому же числу, а именно B-А, то есть длине временного интервала (А, В). Обозначим множество всех таких векторов через S. Геометрически эти векторы можно изобразить так. Будем считать, что все они выходят из начала координат, то есть из точки O в R n. Рассмотрим концы всех таких векторов с = (c 1,…, c n). Все они лежат на «многомерном симплексе» L, определяемом в пространстве R nодним уравнением c 1+ … + c n= B - А, где все координаты c 1,…, c nявляются вещественными неотрицательными числами. Множество S геометрически изображается как множество «целых точек» на симплексе L, то есть множество всех точек из L, имеющих целочисленные координаты.

Ясно, что концы векторов локальных максимумов a(X) и a(Y) для летописей X и Y принадлежат множеству S, рис. 5.7.

Рис. 5.7. Векторы локальных максимумов а(X) и a(Y) двух сравниваемых летописей X и Y можно условно изобразить двумя векторами в евклидовом пространстве.

Фиксируем теперь вектор a(X) = (x 1,…, x n) и рассмотрим все векторы с = (c 1,…, c n) с вещественными координатами, принадлежащие симплексу L и такие, что они удовлетворяют еще одному дополнительному соотношению:

(c 1 - x 1) 2+ … + (c n - x n) 2≤ (y 1 - x 1) 2+ … + (y n - x n) 2

Множество всех таких векторов с = (c 1,…, c n) обозначим через К. Математически эти векторы описываются как удаленные от фиксированного вектора а(X) на расстояние, не превышающее расстояния r(X, Y) от вектора а(X) до вектора a(Y). Говоря здесь о расстоянии между векторами, мы имеем в виду расстояние между их концами. Напомним, что величина

(y 1 - x 1) 2+ … + (y n - x n) 2

равна квадрату расстояния r(X, Y) между векторами а(X) и a(Y).

Поэтому множество K — это часть симплекса L, попавшая в «n-мерный» шар радиуса r(X, Y) с центром в точке a(X).

Подсчитаем теперь, сколько «целочисленных векторов» содержится в множестве K и сколько — в множестве L. Полученные числа обозначим через m(К) и m(L) соответственно. В качестве «предварительного коэффициента» p'(X, Y) мы возьмем отношение этих двух чисел, то есть

p'(X, Y) = m(K)/m(L),

то есть

Так как множество К составляет лишь часть множества L, то число р'(X, Y) заключено на отрезке [0,1].