Довид Ласерна - На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

Волновое уравнение Шрёдингера — это дифференциальное уравнение в частных производных:

где ψ — функция времени и трех пространственных координат (х, у, z), i = sqrt(-1) и h = h/2n. Чтобы понять это выражение, необходимы математические знания, выходящие за рамки этой книги. Поэтому мы ограничимся упрощенной версией уравнения — в одном измерении и опустив зависимость от времени:

Этого упрощения вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать широкий спектр квантовых состояний. Но прежде чем его интерпретировать, представим каждый его компонент.

Когда говорят об уравнении, первое, что приходит на ум, — это алгебраическое выражение с одним или несколькими неизвестными:

x²+x=7

x²-y²+3=0

Уравнение обычно подвергает одну или несколько переменных величин — неизвестных чисел — серии действий, выраженных математическими операциями (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня), которым удовлетворяют только решения.

До введения в XVI веке французом Франсуа Виетом современной символической записи с буквами, египетские и арабские математики выражали условия уравнения в словесной форме. Так, уравнение вида х²+х=3 формулировалось в виде вопроса: «Что за вещь, умноженная сама на себя и добавленная к себе, дает три в результате?» При словесном описании естественно желание придать «вещи» более широкое значение, увеличивая набор операций и множество математических объектов, к которым они применяются.

Следуя стремлению к абстрагированию, появившемуся в течение XIX века, в условия уравнений были добавлены не только числа, но и более сложные математические объекты, такие как функции или матрицы (последние, как мы увидим, сыграли первостепенную роль в истории квантовой механики). Сейчас нам нужно добавить в наш набор только функции и новую операцию — дифференцирование.

Простейшие функции зависят от одной переменной, у (х), и представлены кривыми (рисунок 3, на следующей странице).

Каждому значению х уравнения соответствует значение у, таким образом появляется множество точек с координатами (х, у), образующих кривую.

Функции с двумя переменными представлены в виде поверхности, размещенной в трехмерном пространстве; с тремя переменными и более — бросают вызов способности человеческого мозга их представить. Как и числа, функции могут подчиняться целому ряду математических условий, и те, которые этим условиям удовлетворяют, становятся решениями уравнения.

Дифференциальные уравнения практически ничем не отличаются от алгебраических, однако их решения разнообразнее (решениями могут быть функции), как и возможные действия (операции включают производные). Например:

РИС. 3

где k — константа.

Древние так сформулировали бы это уравнение: какая функция, будучи дифференцированной, равна константе k, помноженной на ту же функцию? Ответ: у(х) = у 0е kx, где у 0= у(0) — дополнительное требование к уравнению.

Само обозначение у(х) подчеркивает зависимость у от х. Производная функции отражает динамику — то, как первая переменная величина меняется с помощью второй. На кривой рисунка 4 (стр. 79) у изменяется прогрессивно при условии, что значение х увеличивается. Чтобы выявить эту динамику изменения, можно использовать касательную, то есть прямую, которая касается кривой функции в одной точке. Наблюдая за углом, который образует касательная к оси абсцисс, мы получаем наглядное представление о значении производной функции. Горизонтальная касательная недвусмысленно говорит о нулевой производной (у не изменяется при изменении х), тогда как касательная, приближающаяся к оси ординат, соответствует производной, движущейся к бесконечности (и очень увеличивающейся с малейшим изменением х). В настоящем случае наклон всех касательных является малым, то есть они постепенно удаляются от абсцисс (рисунок 5).

РИС. 4

РИС. 5