Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Часть света затем покидает каплю, и по закону преломления угол между выходящим наружу лучом и перпендикуляром к поверхности в точке P’’ будет равен исходному углу падения i (см. рис. 22 – здесь показана схема следования луча в плоскости, проходящей через падающий луч, центр капли и наблюдателя. Только те лучи, которые встречаются с каплей, находясь в этой плоскости, имеют возможность достигнуть наблюдателя).

По мере всей этой серии поворотов луч света отклонится в сторону центра капли на угол i – r дважды – в моменты входа в каплю и выхода из нее, и на угол 180° – 2 r при отражении от ее задней поверхности, и значит, полный угол поворота луча составит:

Если бы луч возвращался из капли в направлении, точно противоположном тому, в котором вошел (это происходит в случае, когда i = r = 0), этот угол составил бы 180°, а начальное и конечное направления луча были бы параллельны, поэтому действительный угол φ между ними равен:

Можно выразить r как функцию от i , вот так:

где для любого аргумента x функция arcsin x – это угол (обычно принимаемый в промежутке от –90° до +90°), синус которого равен x . Численный расчет для показателя n = 4/3, который нам встречается в главе 13, показывает, что φ возрастает от нуля при i = 0 до максимального значения при 42° и затем снижается примерно до 14° при i = 90°. График зависимости φ от i горизонтален в своей точке максимума, поэтому большая часть света выходит из капли, подвергаясь отклонению на полный угол, близкий к 42°.

Если мы посмотрим на облачное небо, повернувшись к солнечным лучам спиной, то увидим свет, приходящий к нам под углом 42° между нашим лучом зрения и световыми лучами от солнца. Совокупность этих направлений формирует дугу, которая для нас обычно поднимается в небо из одной точки горизонта и затем опускается к земле в другой. Поскольку коэффициент преломления n слегка варьируется в зависимости от цвета преломляемого луча, для лучей различного цвета углы отклонения φ тоже слегка отличаются, поэтому мы видим дугу, образованную чередованием полос разного цвета. Это и есть радуга.

Нетрудно вывести аналитическую формулу, дающую максимальное значение φ для любого коэффициента преломления n . Чтобы найти максимум φ, примем во внимание тот факт, что точке максимума соответствует такое значение угла падения i , при котором график зависимости φ от i горизонтален, а это означает, что ничтожно малое изменение δφ угла φ, происходящее вследствие ничтожно малого изменения δ i угла i , равняется нулю с точностью до первого порядка величины δ i . Чтобы использовать это условие, применим табличную формулу из курса дифференциального исчисления, согласно которой при ничтожно малом изменении δ х аргумента x изменение arcsin x равно:

где, если arcsin x измеряется в градусах, R = 360°/2 π . Таким образом, когда угол падения изменяется на величину δ i , угол отклонения меняется на:

или, поскольку δ sin i = cos i δ i / R ,

Таким образом, условие максимального значения φ таково, что:

Возведя обе части в квадрат и используя правило cos² i = 1 − sin² i (которое является следствием из теоремы Пифагора), мы можем найти из этого выражения значение для sin i :

При этом значении угла падения угол φ максимален:

При n = 4/3 максимальный угол отклонения φ достигается при значении b / R = sin i = 0,86, для которого i = 59,4°, r = 40,2° и φ max = 42,0°.