Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Для расчета величины этого углового сдвига необходимо для фиксированной наблюдательной площадки на Земле определить видимое расположение объекта среди звезд два раза: первый раз – когда он лишь появляется над горизонтом и второй раз – когда он находится выше всего на небе. Для того чтобы показать примерный расчет, рассмотрим простейший в геометрическом отношении случай: обсерватория расположена на экваторе, и объект находится в одной плоскости с экватором Земли. Конечно, это было не так в том случае, когда Тихо Браге измерял параллакс сверхновой звезды, но так мы тоже можем получить величину того же порядка.

Луч зрения от наблюдателя, направленный в сторону объекта, проходит по касательной к поверхности Земли в тот момент, когда он восходит над горизонтом, поэтому угол между этим лучом и направлением от обсерватории в центр Земли – прямой. Отрезки, соединяющие наблюдателя, центр Земли и объект, таким образом, образуют прямоугольный треугольник (см. рис. 14). Синус угла θ в этом треугольнике равен отношению противолежащего катета, радиуса Земли r з , к гипотенузе, расстоянию d от центра Земли до объекта, которое мы измеряем. Как видно из чертежа, этот же угол равен видимому смещению объекта на фоне удаленных звезд между моментом его появления над горизонтом и кульминацией. Полное смещение за время от восхода объекта до его захода составит 2θ.

Рис. 14. Использование суточного параллакса для определения расстоянияd от Земли до астрономического объекта.Здесь показан вид в плане со стороны южного полюса Земли. Для простоты примера наблюдатель расположен на экваторе, а наблюдаемый объект находится в той же самой плоскости, что и экватор. Две прямые, пересекающиеся под углом θ, – это направления от наблюдателя к объекту в моменты его восхода над горизонтом и шесть часов спустя, во время его кульминации прямо в зените для наблюдателя.

Например, если мы предположим, что наблюдаемый объект находится от нас так же далеко, как Луна, то d ≈ 400 000 км, r з ≈ 6400 км, поэтому sin θ ≈ 6,4/400, и, таким образом, θ ≈ 0,9°, а полный суточный параллакс составляет 1,8°. При наблюдении объекта из иной произвольной точки на Земле, такой как остров Вен (например, сверхновой 1572 г.), ожидаемый суточный параллакс должен быть меньше, но все равно того же порядка величины – около 1°. Этого более чем достаточно, чтобы такой опытный астроном, как Браге, измерил бы его и без увеличительных инструментов. Однако Тихо Браге не удалось, наблюдая сверхновую, заметить наличие у нее какого-либо суточного параллакса, из чего он заключил, что звезда находится гораздо дальше Луны. Кроме того, надо отметить, что и параллакс самой Луны был измерен без труда, что стало способом измерения расстояния между Землей и Луной.

Согласно Первому закону Кеплера, все планеты, включая Землю, обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится не в их центрах, а в некоторых смещенных от центра точках, расположенных на больших осях этих эллипсов – в одном из фокусов эллипса каждой из орбит (см. техническое замечание 18). Эксцентриситет эллипса e определяется так, что расстояние от любого его фокуса до центра равно ea , где a – длина большой полуоси эллипса. Также, согласно Второму закону Кеплера, скорость каждой планеты при ее перемещении по орбите не постоянна, а изменяется таким образом, что отрезок (или радиус-вектор), проведенный к ней от Солнца, заметает равные по площади участки плоскости за одинаковые отрезки времени.

Существует другой способ приближенно сформулировать тот же Второй закон, имеющий близкое отношение к старой идее экванта, которую использовал в своей астрономической системе Птолемей. Вместо того чтобы рассматривать отрезок, проведенный к планете от Солнца, рассмотрим отрезок к ней же из другой точки, а именно из пустого фокуса ее эллиптической орбиты. Эксцентриситет e некоторых орбит планет довольно значителен, и им нельзя пренебрегать. Но его квадрат e ² очень мал для любой планеты. Например, среди планет самый большой эксцентриситет у орбиты Меркурия, для него e = 0,206, а e ² = 0,042; для Земли же e ² = 0,00028. Поэтому при вычислении планетных движений достаточно аппроксимировать реальные их законы уравнениями, в которых присутствуют слагаемые, пропорциональные эксцентриситету e , или независимые от него слагаемые, и игнорировать такие их члены, которые пропорциональны квадрату эксцентриситета e ² или его степеням высших порядков. В этом приближении Второй закон Кеплера эквивалентен утверждению, что отрезок, проводимый из пустого фокуса планетной орбиты к планете, заметает равные углы за равные промежутки времени. Иначе говоря, эта линия вращается с постоянной угловой скоростью.