Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

Кроме арифметической машины одним из первых результатов своих исследований, с которыми Лейбниц познакомил Королевское общество, был метод нахождения суммы членов бесконечных рядов.

Первая известная сумма бесконечных членов найдена для так называемой геометрической прогрессии. Результаты вычисления суммы этого ряда фигурируют уже в папирусе Ринда. Задача заключается в том, чтобы найти сумму бесконечного количества степеней, основание которых — число, меньшее единицы. Самый традиционный пример — сумма геометрической прогрессии:

1/2+(1/2) 2+(1/2) 3+(1/2) 4+ ... + 1/2+1/4+1/8+1/16+ ...= 1

Этот процесс нагляден: возьмем за единицу площадь квадрата, который мы разделим на две части, и одну из них — снова напополам; из двух оставшихся частей одна снова делится посередине, и теоретически можно продолжить данный процесс до бесконечности. Суммой всех полученных нами фигур является исходный квадрат, то есть единица. С этим типом рядов, которые обычно представлены следующим выражением:

∑ r n= 1+r+r 2+r 3+r 4+...

n≥0

знакомы и работают ученики средней школы. Чтобы найти значение суммы, нам нужно сложить п членов геометрической прогрессии, а затем умножить эту сумму на знаменатель прогрессии г. Затем вычитаем одно выражение из другого:

S = (1+r+r 2+r 3+r 4+...+r n)- (r • S = r+r 2+r 3+r 4+r 5+...+r n+1)/(S - r • S = 1 - r n+1)

Таким образом мы можем выделить S и получить значение суммы, которое мы искали:

S = (1-r n+1)/(1-r)

Теперь, если принять, что r имеет значение, меньшее 1, и что вместо сложения п членов мы складываем бесконечное количество, значение rn +1становится нулем, и, следовательно, сумма сводится к:

S = 1/(1-r)

Математики всегда искали формулы, которые бы позволили с легкостью складывать большое число членов. Уже в античности были известны суммы членов рядов первых степеней: n, n 2и n 3.

1+2+3+4+5+6+7+...+ = n(n+1)/2 = n 2/2+n/2,

1 2+2 2+3 2+...+n 2= n(n+1)(2n+1)/6 = n 3/3+n 2/2+n/6,

1 3+2 3+3 3+...+n 3= n 2(n+1) 2/4 = n 4/4+n 3/2+n 2/4.

Но с самого начала математики были очень заинтересованы в изучении конкретного случая, когда сумма бесконечного числа членов дает конечное значение. Над этой проблемой работали, например, Демокрит и Архимед.

На основе геометрического ряда

∑r n

n≥1

в Средние века исследовали ряды степеней, в которых менялись местами основание и показатель степени, например:

∑n r

n≥1

Вскоре было замечено: если показатель степени r положительный, а n — целое число, сумма превращается в бесконечность. Когда показатель степени r отрицательный, получаются степени дробей, меньших единицы, то есть сумма

∑(1/n) r, где r больше единицы.

n≥1

Французский математик Николай Орезмский (1323— 1382) получил много результатов, исследуя ряды, и первым доказал, что гармонический ряд, то есть ряд, составленный из членов, обратных числам натурального ряда, для r = 1 является расходящимся. Следовательно, сумма большого числа членов стремится к бесконечности. В то время доказательства приводили в буквальном виде, описывая шаги, которые нужно сделать, но мы рассмотрим это искусное рассуждение, пользуясь более привычными символами. Орезмский сгруппировал члены, то есть у него был первый член, два следующих, четыре следующих, восемь следующих и так далее:

1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...+ = 1/2+(1/2+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+ = 1/2+7/12+533/840+...

Так получается ряд дробей, каждая из которых больше 1 /2, то есть сумму ряда можно сделать больше любого указанного числа, просто взяв достаточное число членов ряда.

Индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграма (1350-1425) описал среди прочих бесконечных рядов ряды тригонометрических функций синуса и косинуса. Он также нашел ряд арктангенса:

arct x = x - x 3/3 + x 5/5 + x 7/7 + ,,,

Через несколько лет шотландский математик Джеймс Грегори (1638-1675) первым в Европе открыл этот ряд, о нем узнал Лейбниц и воспользовался им для выведения первого ряда для числа π, недостатком которого было то, что он очень медленно приближается к истинному значению. Он известен как ряд Грегори — Лейбница, хотя другие авторы сегодня его называют рядом Мадхавы — Лейбница: