Леонард Сасскинд - Космический ландшафт. Теория струн и иллюзия разумного замысла Вселенной

Из всех перечисленных объектов однородна и изотропна только сфера. Она, подобно окружности, обладает совершенной симметрией: каждая точка сферы ничем не отличается от другой точки сферы. Эллипсоид, хотя и не так совершенен, как сфера, всё ещё остаётся достаточно симметричной фигурой. Например, зеркальное отражение эллипсоида ничем не отличается от оригинала. Но уже далеко не каждый участок поверхности эллипсоида неотличим от других. Груша или банан ещё менее симметричны.

Одним из способов описания поверхности является указание её кривизны. Кривизна сферы абсолютно однородна. Говоря математическим языком, сфера является пространством с однородной положительной кривизной. Эллипсоид тоже обладает всюду положительной кривизной, однако его кривизна меняется от одного места поверхности к другому. Например, вытянутый эллипсоид, форма которого напоминает подводную лодку, имеет бо́льшую кривизну на концах и меньшую посередине. Из всех примеров одна только сфера имеет всюду постоянную кривизну.

Сферы, эллипсоиды и поверхности фруктов замкнуты и ограниченны – это означает, что они имеют конечную площадь, но не имеют краёв. Но следует признать, что никто не знает, конечна ли Вселенная, ведь до сих пор не нашлось космического Магеллана, который совершил бы круговселенское путешествие. Поэтому вполне возможно, что Вселенная продолжается неограниченно далеко, и в этом случае она бесконечна и безгранична.

В том случае, если мы считаем Вселенную бесконечной, возможны две однородные и изотропные геометрии Вселенной. Первая, очевидно, представляет собой бесконечное плоское пространство. Представьте себе бесконечный во всех направлениях плоский лист бумаги. На бесконечной плоскости нет никаких выделенных точек, о которых можно было бы сказать, что они находятся ближе к центру или ближе к краю. Но в отличие от сферы, плоскость не имеет кривизны, или, говоря математическим языком, кривизна плоскости равна нулю. Итак, мы знаем две однородные геометрии: сфера с положительной кривизной и плоскость с нулевой кривизной. Остаётся ещё третий вариант: гиперболоид с отрицательной кривизной. Чтобы вообразить поверхность с отрицательной кривизной, представьте себе кусок водопроводной трубы, согнутый под прямым углом. С внешней стороны «локтя» поверхность металла имеет положительную кривизну, как сфера. Кривизна же поверхности на внутренней стороне изгиба отрицательна.

Конечно же, колено водопроводной трубы неоднородно. Внутренняя сторона колена геометрически не похожа на внешнюю, потому что их кривизны имеют разные знаки. Лучшим примером поверхности с отрицательной кривизной служит поверхность седла: представьте себе седло, поверхность которого неограниченно поднимается вверх спереди и сзади от седока и неограниченно спускается вниз справа и слева, – и вы получите представление о бесконечной поверхности, имеющей всюду отрицательную кривизну.

Все три поверхности – сфера, плоскость и гиперболоид – однородны. Более того, все три поверхности имеют аналоги в трёхмерном пространстве: 3-сфера, обычное трёхмерное евклидово пространство и более трудное для представления трёхмерное гиперболическое пространство.

Теперь, когда мы представляем себе три стандартных типа космологии, предположим, что каждая из поверхностей представляет собой резиновую плёнку (или резиновый шарик для случая сферы) с нарисованными на ней галактиками. Начав равномерно растягивать плёнку, мы убедимся, что расстояния между двумя любыми галактиками будут изменяться, следуя закону Хаббла. Теперь у вас есть примерное представление о трёх возможных однородных и изотропных космологических моделях. Космологи обозначают эти модели числом k , принимающим значения 1, 0 и –1 соответственно для положительной кривизны (сферы), нулевой кривизны (плоскости) и отрицательной кривизны (гиперболоида).

Три геометрии

Так всё же: конечна Вселенная, как предполагал Эйнштейн, или она безгранична и бесконечна и заполнена бесконечным числом звёзд и галактик? Этот вопрос мучил космологов на всём протяжении XX века, и ответ на него так и не был найден. В конце этой главы я расскажу об одном открытии и о том, как оно может повлиять на окончательный ответ.