Ричард Фейнман: 5a. Электричество и магнетизм

§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера

В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот рас­чет, например, может быть использован для получения хоро­шего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваются, они из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти од­нородно.

Пусть у нас имеется сфера радиуса R, однородно наполнен­ная зарядами. Пусть заряд в единице объема равен р. Снова, используя соображения симметрии, можно предположить, что поле радиально и в точках, равноудаленных от центра, по величине одинаково.

Фиг. 5.8. Закон Гаусса можно применить для определения поля внутри однородно заря­женного шара.

Чтоб определить поле в точке на расстоянии r от центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса r (r

Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на r, т. е.

Применяя закон Гаусса, получаем величину поля

(5.7)

Вы видите, что при r=R эта формула дает правильный резуль­тат. Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу.

Аргументы, которые мы только что приводили для однород­но заряженного шара, можно применить и к заряженной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем, что поле вне сфе­ры во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сфе­ры — нуль (если мы проведем гауссову поверхность внутри сфе­ры, то внутри нее зарядов не окажется).

§ 8. Точен ли закон Кулона?

Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точ­ной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем произвольную точку Р внутри однородно заряженной сфери­ческой поверхности.

Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сфериче­ской оболочки поле равно нулю.

Представим узкий конус, который начи­нается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Da t(фиг. 5.9). В точности сим­метричный конус по другую сторону вершины вырежет на по­верхности площадь Dа 2. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r 1и r 2, то площади находятся в от­ношении

(Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью гео­метрии.)

Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд D q на каждом элементе поверхности пропорционален его пло­щади

Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, созда­ваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении

Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу. Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени r в законе Кулона не равным в точности двойке.

Справедливость закона Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Если бы закон силы не подчинялся в точности зависимости 1/r 2, то поле внутри однородно заряженной сфе­ры не было бы в точности равно нулю. Например, если бы поле менялось быстрее (скажем, как 1/r 3), то часть сферы, которая ближе к точке Р, создала бы в точке Р более сильное поле, чем дальняя часть. Получилось бы (для положительного поверх­ностного заряда) радиальное поле, направленное к центру. Эти заключения подсказывают нам элегантный путь проверки точности выполнения закона обратных квадратов. Для этого нужно только узнать, в точности ли поле внутри однородно за­ряженной сферы равно нулю.