Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм

Выберем теперь другой легкий путь, скажем тот, который изображен на фиг. 4.3, б. Он идет попеременно то по дуге ок­ружности, то по радиусу. Каждый раз, когда путь пролегает по дуге, никакой работы не затрачивается. Каждый раз, когда путь идет по радиусу, интегрируется 1/r 2. По первому радиаль­ному участку интеграл берется от r a до r a ’., по следующему — от r а . до r а "и т. д. Сумма всех таких интегралов как раз равна одному интегралу, но в пределах от r а до r b . В общем получится тот же ответ, что и в первом испробованном нами пути. Ясно, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого вида, получится тот же результат.

Ну а как насчет плавных траекторий? Получим ли мы тот же ответ? Этот вопрос мы обсудили в вып. 1, гл. 13. Пользуясь теми же доводами, что и тогда, мы можем заключить, что работа переноса единичного заряда от а до b от пути не зависит:

Фиг. 4.4. Работа, затрачен­ная на движение вдоль любого пути от а до b, равна минус работе от некоторой точки Р 0 до а плюс работа от Р 0 до b.

А раз выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом. Выберем отправ­ную точку Р 0 и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р 0 . Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р 0 до точки а, через j(а), а работу на участке от Р 0 до точки b — через j(b) (фиг. 4.4). Работа перехода от а к Р 0 (по дороге к b ) равна j (a) с минусом, так что

(4.21)

Так как повсюду будет встречаться только разность значе­ний функции j в двух точках, то положение точки Р 0 в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число j тем самым определяется в любой точке пространства; значит, j является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потен­циалом в произвольной точке.

Электростатический потенциал

(4.22)

Часто очень удобно брать отправную точку на бесконеч­ности. Тогда потенциал j одиночного заряда в начале коорди­нат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]

(4.23)

Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от вто­рого, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, по­тенциал j множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргу­ментами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем полу­чить окончательные формулы для потенциала j в точке, обозна­ченной как (1):

(4.24)

(4.25)

Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из неко­торой отправной точки.

§4. E = -Сj

С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, дейст­вующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труд­нее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одина­ковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинте­ресуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести еди­ничный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — го­ризонтальная линия от хдо х+Dx.Работа равна разности по­тенциалов в двух точках