Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм

Дирак объяснил, что значит действительно понять уравне­ние — понять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно». Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» уравнения в применении к этим условиям. Физическое понимание — это нечто неточное, неопределенное и абсолютно нематематическое, но для физика оно совершенно необходимо.

Обычно курс физики подобного рода строится так, что физи­ческие представления развиваются постепенно: начиная с са­мых простейших явлений, переходят ко все более и более слож­ным. Кое-что из изученного при этом неминуемо забывается (то, что верно лишь в определенных условиях, а не всегда). К примеру, «закон» обратных квадратов для электрической силы верен не всегда. Нам больше по душе обратный подход. Луч­ше начать с полных, самых общих законов, а затем повер­нуть вспять и применять их к простым задачам, развивая фи­зические представления по мере продвижения вперед. Так мы и собираемся сделать.

Наш подход совершенно противоположен подходу истори­ческому, когда изложение слепо следует за экспериментами, в которых впервые была получена нужная информация. Но ведь физику развивают множество очень умных людей уже свыше 200 лет, а у нас времени мало и нам нужно овладеть зна­ниями побыстрее. Поэтому мы не можем охватить все, что они сделали. Так что в этих лекциях мы будем вынуждены прене­бречь историей предмета и не будем рассказывать об опытах. Мы надеемся, что вы восполните пропущенное на лабораторных занятиях; и, конечно, очень полезно почитать статьи и книги по истории физики.

§ 2. Скалярные и векторные поля — Т и h

Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математи­ческого подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике век­торных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральное исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.

Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы

Мы будем также пользоваться следующими двумя равенствами:

Фиг. 2.1. Температура Т — пример скалярного поля. С каждой точкой (х, у, z) в прост­ранстве связывается число Т(х, у, z ). Все точки на поверхности с помет­кой Т=20° (изображенной в виде кривой при z=0) имеют одну и ту же температуру. Стрелки — это примеры вектора потока тепла h.

Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при Dx; Dy и Dz®0.

Простейшее из физических полей — скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле — это просто такое поле, кото­рое в каждой точке характеризуется одним-единственным чис­лом — скаляром. Это число, конечно, может меняться во вре­мени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В ка­честве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какого-то материала. В одних местах брусок нагрет, в других — осту­жен, так что его температура меняется ют точки к точке каким-то сложным образом. Температура тогда будет функцией х, у и z — положения в пространстве, измеренного в прямоугольной си­стеме координат. Температура — это скалярное поле.

Один способ представить себе скалярное поле — это вообра­зить «контуры»,

т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно гори­зонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят назва­ние «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость Т от х и у при z=0. Проведено несколько изотерм.