Александр Филиппов - Многоликий солитон

Изредка новые поколения ученых, занимавшихся проблемами гидродинамики, возвращались к обсуждению КдФ-уравнения и уединенных волн. Такие вспышки интереса наблюдались около 1925 г. и после 1945 г. В 1946 г. Михаил Алексеевич Лаврентьев (1900—1980) дал первое математически строгое доказательство существования уединенной волны. Это доказательство было очень сложным, более простое нашел американский математик Курт Фридрихе в 1954 г. Примерно в то же время были проделаны тщательные опыты с уединенными волнами, в которых использовалась киносъемка. Эти достижения оставались известными лишь узкому кругу специалистов.

То, что уединенные волны оказались на каких-то чердаках огромного здания науки, на самом деле можно понять. Действительно, чем волны на воде отличаются от хорошо изученных световых волн, радиоволн или волн, с помощью которых описывают квантовые явления? Все эти волны можно складывать — вспомним принцип Гюйгенса или объяснение интерференции и дифракции волн. При наложении двух волн возникает волна, форма которой определяется простым алгебраическим (или векторным) сложением двух исходных волн. С этим свойством световых волн, в сущности, и была связана победа волновой теории света, описанная выше. Это свойство волн лежит в основе радиосвязи и телевидения, а в квантовой теории возможность складывать волны заложена в фундамент всей теории. На математическом языке все это вытекает из линейности описывающих эти волны уравнений. К одному решению можно добавить другое и получить новое решение. Если увеличить или уменьшить амплитуду некоторого решения (умножить ее на число), то также получим новое решение.

Для волн в жидкости это неверно, складывать можно лишь волны очень малой амплитуды. Но если мы попытаемся сложить волны Герстнера или волны КдФ, то не получим не только новой волны Герстнера или КдФ, но и вообще волны, которая могла бы существовать. На математическом языке это означает, что уравнения гидродинамики нелинейны .

Конечно, свойство линейности звуковых, световых и радиоволн лишь приближенное. При распространении в среде волн с большой амплитудой это свойство нарушается. Например, в акустике давно было известно, что так называемые ударные волны сильно отличаются от обычных. Одним из первых это подметил Рассел. В своей книге он замечает, что звук пушечного выстрела (ударная волна) распространяется значительно быстрее, чем команда открыть огонь. Нелинейные эффекты в оптике также возможны, но их начали серьезно изучать лишь после того, как были созданы лазеры.

В общем, время от времени отдельные нелинейные взаимодействия волн в акустике, оптике и радиофизике рассматривались, однако их настоящее исследование началось лишь в середине нашего столетия. Тогда же появились «нелинейная оптика», «нелинейная акустика», «нелинейная радиофизика» и другие «нелинейные науки». «Исконно нелинейная» гидродинамика, в которой нелинейность проявляется уже в самых простых явлениях, в течение почти столетия развивалась в полной изоляции от «линейной» физики. Неудивительно, что ничего похожего на уединенную волну Рассела в других волновых явлениях никто не искал и не увидел. До тех пор, пока линейность считали одним из основных свойств волновых явлений, уединенной волне, само существование которой обусловлено нелинейностью, суждено было слыть любопытным, но экзотическим явлением, интересным лишь для специалистов по гидродинамике.

Роковую роль в судьбе уединенной волны сыграло также еще одно обстоятельство. Ни Рассел, ни ученые, изучавшие уединенную волну в течение последующих 120 лет, не замечали ее необыкновенного сходства с частицей. Мы уже обратили внимание на наблюдение Расселом двух уединенных волн, которые после столкновения полностью сохраняют форму и скорость движения. Правда, частицы эти довольно своеобразные — еще Рассел заметил, что «большая» частица (высокая волна) всегда движется быстрее .

Более тонкое явление, которого он не увидел, состоит в следующем. Когда высокая волна догоняет низкую, на первый взгляд кажется, что она проходит через нее и идет дальше, подобно тому как мелкие волны от брошенного камня проходят друг через друга. Если бы у Рассела был киноаппарат, он мог бы увидеть, что на самом деле в случае уединенных волн все происходит не так. Когда обе волны соприкасаются, большая замедляется и уменьшается, а малая, наоборот, ускоряется и растет. Когда малая вырастает до размера большой, а большая соответственно уменьшается, то волны отрываются друг от друга, и далее бывшая малая уходит вперед, а бывшая большая отстает. Как видно из рис. 2.3, после такого взаимодействия большая волна как бы «сдвигается» вперед, т. е. уходит немного дальше того положения, которое она занимала бы, если бы никакого взаимодействия не было, а малая, наоборот, отстает, «сдвигается» назад (положения невзаимодействующих равномерно движущихся волн изображены на рисунке штриховыми линиями).