Анна Ливанова - Физики о физиках

Линейные и нелинейные колебания, системы… Пора объяснить, что это такое и чем одни отличаются от других.

Термины «линейность» и «нелинейность» не физического происхождения, они родились в математике. Линейное уравнение — это уравнение, в которое неизвестное входит в первой степени. А в нелинейном уравнении неизвестное может присутствовать в самом различном виде: в квадрате, в кубе, или в еще более высокой степени, сомножителем в произведении неизвестных, или находиться под знаком какой-нибудь функции.

Линейные колебания описываются линейными уравнениями. Соответственно, нелинейные колебания описываются нелинейными уравнениями.

Взглянем на какую-нибудь колебательную систему — на часы, или на электрический колебательный контур, или — чтобы попроще — на обыкновенные качели. Чтобы описать колебания каждой из этих систем, нужно прежде всего составить правильное уравнение, соответствующее процессу, а потом, естественно, это уравнение решить. В любое математическое уравнение всегда входят неизвестные и коэффициенты. В уравнении, описывающем колебательный процесс, коэффициенты должны заключать в себе так называемые параметры системы. Например, в электрическом колебательном контуре такими параметрами будут среди прочих емкость конденсатора, индуктивность катушки. Величины, определяющие в каждом типе колебательной системы ее колебательный процесс, и называются параметрами системы.

Бывает, что параметры не зависят от самого колебательного процесса системы; они остаются постоянными и, следовательно, как постоянные коэффициенты войдут в уравнение, описывающее процесс. В этом случае уравнение окажется линейным, а значит, и сама система — мы можем не сомневаться в том — будет тоже линейной.

Но это — «дико частный случай». В большинстве процессов — в природе, в технике, в физической установке — параметры системы не только определяют ее колебательный процесс, но и сами зависят от этого процесса. При такой ситуации очевидно, что неизвестные не только занимают положенное им место в уравнении, но еще и «влезают» в параметры. При этом они немедленно нарушают линейность уравнения. Действительно, если прежде неизвестное умножалось на постоянную величину, то теперь оно умножается на параметр, зависящий от него самого, от неизвестного, то есть умножается на величину, в которую оно само входит по крайней мере в первой степени. Значит, произведение дает уже, самое малое, квадрат неизвестного. Но если неизвестное имеет степень больше первой, то уравнение нелинейно. Можно было бы сказать, что и система, которую это уравнение описывает, тоже окажется нелинейной. Но естественней, конечно, не менять местами причину и следствие и сказать так: нелинейность системы выражается в том, что на ее параметры влияют ее собственные колебания. Подобная физическая ситуация приводит к тому, что уравнение, описывающее поведение такой системы, оказывается нелинейным.

Теория нелинейных колебаний — завоевание двадцатого столетия. Она была вызвана к жизни прежде всего бурным развитием техники, которым ознаменован наш век. Но в природе, во вселенной есть немало физических процессов, которые вдруг «признались», что и они разговаривают на нелинейном языке. После такого признания удалось заново осмыслить и расшифровать издавна известные явления: поведение переменных звезд — цефеид, отклонения в траекториях, по которым планеты обращаются вокруг Солнца…

А в мире, находящемся в ведении человека, нелинейные колебания расселились тоже очень широко. Например, они, по существу, главенствуют в радиотехнике: процессы, протекающие в генераторах радиоволн и частично в приемных устройствах, есть процессы нелинейные.

Все устройства автоматического регулирования, в какой бы области техники и производства они ни применялись, подчиняются законам обширного царства нелинейных колебаний.

Этим законам следуют: и работа паровой машины; и движение самолета, управляемого автопилотом; и устойчивая параллельная работа синхронных машин, параллельная работа электрических станций и целых энергосистем; и ход часов; и процессы в циклотронах.

Итак, не случайно терминология «линейные и нелинейные колебания» возникла из математики. В теории колебаний математический аппарат играет огромную роль. Поэтому, когда в физику и технику хлынул поток задач и процессов, имеющих нелинейную природу, для Мандельштама было крайне важно, как и прежде, когда дело касалось линейных колебаний, привить новый подход к изучению этих разнородных явлений, объединенных только тем, что все они имеют характер нелинейных колебаний. Андронов указал ту поистине узловую задачу, которая с начала тридцатых годов становится точкой приложения сил для Мандельштама, как ученого и учителя и как идеолога физиков-колебателей: «Идея выработки нелинейного мышления, опирающегося на твердую математическую базу, идея создания наглядных физических представлений и понятий, имеющих в своей основе адекватные нелинейным физическим объектам математические представления и понятия, является, как мне кажется, основной руководящей идеей научного творчества Мандельштама в области теории нелинейных колебаний».