Грегори Гбур - Загадка падающей кошки и фундаментальная физика

Еще один пример включает уже прямое столкновение между Дженокки и Пеано. Лекции Дженокки по дифференциальному и интегральному исчислению высоко ценились в университете, и в 1883 г. Пеано попытался уговорить старшего коллегу собрать их в книгу. Дженокки отказался, отговорившись плохим здоровьем, но Пеано сказал, что может сам написать книгу от имени Дженокки. Книга Анджело Дженокки под названием «Дифференциальное исчисление и начала интегрального исчисления» (Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale) вышла в конце 1884 г. с примечанием: «С добавлениями д-ра Джузеппе Пеано».

Это издание породило, по крайней мере поначалу, небольшой скандал. Пеано не только собрал и скомпилировал лекции Дженокки, но и включил в книгу то, что сам он назвал «важными добавлениями». Эта формулировка производила впечатление одновременно эгоизма и неуважения к человеку, обозначенному в книге как автор. Как может молодой выскочка улучшить работу мастера? Сам Дженокки тоже сначала рассердился, хотя со временем он, кажется, в целом оценил книгу по достоинству. Задним числом можно сказать, что добавления были очень важными.

Несмотря на довольно нахальный подход Пеано к самопродвижению — или, скорее, отчасти благодаря ему — он стремительно двигался по карьерной лестнице и набрал влияние. В 1886 г. Пеано занял второй пост профессора в Королевской военной академии, а в 1890 г. получил пожизненный пост профессора в Турине. Именно в этот период он опубликовал свои самые интересные и важные работы. Одним из величайших его достижений было формулирование того, что мы сегодня называем аксиомами Пеано, — небольшого набора простых утверждений, описывающих все свойства натуральных чисел (0, 1, 2, 3, …). Он также был разработчиком и пропагандистом формального стандартизованного «языка», который можно использовать для формулирования математических утверждений. Этот язык позволяет резко сократить математические доказательства, которые зачастую бывают чрезмерно громоздкими. Нотация Пеано до сих пор используется в почти неизменном виде. В 1890 г. он стал одним из основателей журнала Rivista di Matematica , в котором опубликовал свою первую «кошачью» статью «Принцип площадей и история кошки», а в 1891 г. начал «Стандарты проектов» (Formulario Project), целью которой было создание стандартизованной энциклопедии математики с использованием разработанного им символьного языка.

Еще один образец работы Пеано стоит того, чтобы упомянуть его здесь: это концепция заполняющей пространство кривой. Идею такой кривой представим вопросом: можно ли нарисовать одну-единственную кривую, которая полностью заполняет квадрат? Если говорить о карандаше и бумаге, то мы всегда можем заполнить квадрат, поскольку кончик грифеля имеет конечную толщину. Однако в математике линия — это объект, имеющий длину, но не имеющий ширины, тогда как квадрат имеет и длину, и ширину. Интуитивно нам представляется, что в этом смысле квадрат «больше», чем линия. Мы часто характеризуем это, называя размерности объектов: линия — одномерный объект, а квадрат — двумерный.

К концу XIX в. развитие математики позволило продемонстрировать, что число идеальных точек в линии и квадрате совершенно одинаково . Это значит, в принципе, что квадрат можно заполнить одной непрерывной линией, и именно Пеано первым показал в явном виде, как это сделать. Конструкция, которую он использовал, показана на рисунке, где квадрат заполняется линией, описывающей все более извилистую траекторию. На первом шаге траектория имеет попросту S-образную форму. В следующей итерации на отдельных участках траектории делаются свои S-образные ответвления, в следующей — ответвления на участках ответвлений и т. д. Пеано сумел строго доказать, что, произведя такую операцию бесконечное число раз, мы получим единую неразрывную линию, проходящую через каждую точку квадрата — мало того, проходящую через каждую точку не по одному разу {4} .

Много позже математики поймут, что Пеано открыл весьма любопытный образец интереснейшего математического объекта — фрактала . Обычные геометрические объекты имеют размерности, задаваемые не дробными числами, — квадрат двумерен, тогда как линия одномерна, — и у каждого объекта это число является, в определенном смысле, мерой того, сколько пространства занимает объект. Фракталы — объекты с дробной размерностью, и это указывает на то, что занимаемое фракталом количество пространства принципиально отличается от количества пространства, занимаемого простыми объектами. К примеру, фрактал с размерностью 1,5 занимает больше пространства, чем линия, но меньше, чем квадрат. Фракталы часто описывают как объекты, которые на любом уровне увеличения выглядят в основном одинаково — примерно как тонкий срез ветки дерева с виду похож на толстый срез ветки. Это самоподобие присутствует и в кривой Пеано. В общем, Пеано в своей необычной конструкции обнаружил необычный фрактал с фрактальной размерностью, равной 2, — не дробный фрактал.