Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Если результаты представлены в стандартной форме, например

z = 2,34 х 10 6и w = 7,8 х 10 3

то их порядки величины будут

z ~ 10 6и w ~ 10 4.

Вы несомненно найдете применение знакам в своей работе, чем бы вы ни занимались, и привыкнете проводить между ними различие. Заметьте, что символы эти не вполне установившиеся. Некоторые авторы и издатели заменяют символ другими знаками.

Пропорциональная зависимость — ключ ко многим законам

Выражая наши знания о природе в виде простых законов, мы прежде всего ищем постоянство в явлениях: масса тела остается постоянной, полный электрический заряд тоже, количество движения сохраняется неизменным, все электроны одинаковы. Почти столь же простой и плодотворный принцип выражает прямая пропорциональность между величинами, при которой две измеряемые величины возрастают в одинаковой пропорции: удлинение пружины при увеличении нагрузки, сила и ускорение, давление и плотность газа.

Мы говорим, что для пружины (в пределах действия закона Гука)

УДЛИНЕНИЕ пропорционально НАГРУЗКЕ

или

УДЛИНЕНИЕ изменяется прямо пропорционально [171]НАГРУЗКЕ.

Это записывают в виде

УДЛИНЕНИЕ ~ НАГРУЗКА.

Как и процентам, в элементарных курсах часто отводят особое место пропорциям и функциональной зависимости, и эти понятия кажутся чем-то таинственным и труднодоступным. Не будь этого, их считали бы очевидными с точки зрения здравого смысла. Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример В . Предположим, что при снабжении картофелем некоего лагеря недельные потребности определяются следующим образом:

для лагеря на 100 человек требуется 200 кг картофеля

… 200… 400…

… 300… 600…

… 500… 1000…

Масса картофеля возрастает пропорционально размерам хозяйства. Это простейший тип соотношения между двумя величинами, с которым мы так часто встречаемся в физике [172].

Можно сформулировать это соотношение несколькими способами:

1) МАССА КАРТОФЕЛЯ пропорциональна ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ;

2) МАССА КАРТОФЕЛЯ изменяется прямо пропорционально ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ;

3) МАССА КАРТОФЕЛЯ ~ ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ (это сокращенная запись формулировок 1 и 2);

4) МАССА КАРТОФЕЛЯ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ЧИСЛО ЛЮДЕЙ).

Варианты 1 и 2 (и их математическая запись — вариант 3) — это просто попытки дать формулировку простым в очевидным вещам. « Две величины возрастают в одинаковой пропорции . Если удвоить одну из них, то удваивается вторая, если утроить одну, — утраивается вторая, и т. д.».

Имея это в виду, можно легко решать задачи, не вычисляя «постоянную», содержащуюся в записи варианта 4. Например, известно, что для 100 человек требуется 200 кг картофеля. Сколько потребуется его для 600 человек? Для вшестеро большего числа людей требуется в 6 раз больше продовольствия: 1200 кг.

Пример Г .Объем шара изменяется пропорционально третьей степени радиуса . Шар увеличен так, что радиус его стал в 5 раз больше первоначального. Что произойдет с его объемом? Если радиус увеличивается в 5 раз по сравнению с первоначальным, то величина (радиус) 3возрастает в 5 3раз по сравнению с первоначальным значением (поскольку R 3= R∙ R∙ Rи 5 R∙5 R∙5 R= 5 3∙ R 3). Следовательно, объем возрастает По сравнению с первоначальным в 125 раз. Это должно быть следствием здравого смысла, дли которого вовсе не нужно обращаться к соотношению 4/3π R 3.

«Коэффициент пропорциональности»

Формулировка 4

МАССА КАРТОФЕЛЯ = (Постоянная)∙ЧИСЛО ЛЮДЕЙ

очень похожа на запись варианта 3, но для специалиста формулировка 4 не столь четко выражает идею зависимости между величинами. Поэтому советуем избегать ею пользоваться, если только можно получить нужный результат, прибегнув к здравому смыслу, как в приведенных выше двух примерах.

Для каждой пары значений в примере с картофелем, очевидно, справедливо соотношение

МАССА КАРТОФЕЛЯ Р= 2 N∙ЧИСЛО ЛЮДЕЙ,

поэтому все четыре случая можно описать с помощью формулы P= 2 N. Сущность этой записи в том, что она выражает зависимость между величинами: дело не в конкретном значении 2, а в том, что это число остается одним и тем же, т. е. постоянным . (Фактически это потребление картофеля, приходящееся на одного человека, т. е. 2 кг на человека.) Поскольку число 2 постоянно, мы можем записать

Р= (Постоянная)∙ N.

Эта общая формулировка применима и к случаю, когда в лагерь собираются люди, потребляющие много картофеля, и на одного человека уходит уже 5 кг картофеля. Тогда наша форма примет вид P = 5∙ N. (Конечно, если одни обитатели лагеря съедают по 2 кг картофеля в неделю, а другие по 5 кг, то вся схема рассуждений теряет силу. Надо иметь в виду, что такая же опасность существует и при выводе научных законов).