Нил Тайсон - Большое космическое путешествие

Ньютон обнаружил, что сила притяжения между двумя этими телами пропорциональна массе каждого из них и обратному квадрату расстояния r между ними (как я уже говорил, он пришел к такому выводу, опираясь на третий закон Кеплера). «Пропорциональна» в данном случае означает, что сила будет включать константу, характеризующую пропорциональность, – она называется G , или «постоянная Ньютона», в честь сэра Исаака. Вот формула Ньютона, описывающая тяготение между Солнцем и Землей:

F = GM ЗЕМЛ М СОЛН/ r 2.

Речь идет о силе притяжения; два тела притягиваются друг к другу, и, следовательно, эта сила направлена от первого тела ко второму и от второго к первому.

По третьему закону Ньютона эта формула охватывает как силу притяжения Земли к Солнцу, так и силу притяжения Солнца к Земле. Но Солнце неизмеримо массивнее Земли. По второму закону Ньютона ускорение есть сила, деленная на массу. Следовательно, ускорение Земли гораздо, гораздо больше ускорения Солнца, и скорость, сообщаемая Солнцу из-за такого ускорения, крошечная по сравнению со скоростью Земли (Солнце и Земля вращаются вокруг общего центра масс, но он находится под поверхностью Солнца. Солнце минимально колышется вокруг этого центра, тогда как Земля описывает вокруг Солнца большой круг).

Рис. 3.1. Ускорение Луны и ньютоновского яблока, падающего с дерева. Обратите внимание: в обоих случаях вектор ускорения (изменения скорости) направлен к центру Земли. Предоставлено Дж. Ричардом Готтом

Рассмотрим еще одно удивительное следствие из формулы Ньютона. По второму закону Ньютона сила гравитации, формулу которой мы записали чуть выше, равна произведению массы Земли ( M ЗЕМЛ) на ее ускорение, а при движении по кругу ускорение равно v 2/ r . Таким образом, формулу F = ma можно переписать:

GM ЗЕМЛ М СОЛН/ r 2= M ЗЕМЛ v 2/ r .

Обратите внимание: масса Земли присутствует и в левой, и в правой части тождества, поэтому ее можно сократить, и останется:

GМ СОЛН/ r 2= v 2/ r .

Это означает, что ускорение Земли ( GМ СОЛН/ r 2= v 2/ r ) не зависит от массы Земли. Это примечательный факт. Ускорение силы тяжести не зависит от массы ускоряющегося объекта, это касается и околосолнечных орбит, и тел, падающих на Землю в ее гравитационном поле, – все потому, что масса тела оказывается и в левой, и в правой части уравнения и, соответственно, сокращается. Если я брошу книгу и лист бумаги, то они будут испытывать одно и то же ускорение и должны падать с одинаковой скоростью, хотя книга гораздо массивнее. Галилей утверждал, что именно так и должно быть в вакууме. Так ли это на практике? Нет, книга и лист падают с разной скоростью из-за сопротивления воздуха. Сопротивление воздуха воздействует как на книгу, так и на лист, но поскольку книга гораздо массивнее, сопротивление воздуха ускорению книги будет невелико – в сущности, пренебрежимо. Однако если я положу лист бумаги на толстую книгу, так чтобы книга исключала соприкосновение листа бумаги с воздухом, и брошу их как одно целое, то они упадут вместе. Можете сами проверить!

Когда астронавты экипажа «Аполлона-15» прибыли на Луну, они захватили с собой молоток и перо, чтобы экспериментально проверить этот принцип. На Луне практически нет атмосферы; у ее поверхности – самый настоящий вакуум, соответственно никакого сопротивления воздуха там не будет. Когда астронавты одновременно бросали молоток и перо, те падали абсолютно синхронно, точно как прогнозировал Ньютон (и Галилей). В Интернете можно посмотреть видеозапись этого эксперимента.

Возможно, вам известно, что Аристотель в данном случае ошибался. Он считал, что более массивные тела должны падать быстрее и с большим ускорением. Это казалось ему логичным, но на самом деле он ни разу не поставил эксперимент, чтобы проверить, а верна ли эта идея. Он мог бы взять камень побольше и камень поменьше (ни на один камень сопротивление воздуха практически не действует), бросить их и убедиться, что оба камня упадут практически одновременно. Вывод: в науке исключительно важно экспериментально проверять любые интуитивные догадки!

Рассмотрим смежную проблему. Сила тяготения Земли воздействует на яблоко, которое вы держите в поднятой руке. В формуле Ньютона есть величина r – расстояние от яблока до Земли. Можно было бы подумать, что здесь имеется в виду расстояние от яблока до пола, около 2 метров. Оказывается, это неверно. Ньютон осознал, что нужно учитывать притяжение каждого грамма земной массы; не только той, что у вас под ногами, но и всей остальной, вплоть до противоположного полушария. Ему потребовалось около 20 лет, чтобы выполнить такие вычисления. Пришлось сложить силы притяжения каждого отдельного кусочка Земли, у каждого из которых – свое расстояние и направление от яблока. Для сложения всех этих сил потребовалось изобрести совершенно новую область математики, сегодня именуемую интегральным исчислением . Результат такого вычисления показывает, что гравитация шарообразного тела (например, Земли) действует так, как будто вся масса сконцентрирована в центре этого тела, – интуитивно совершенно не очевидно. Чтобы вычислить силу тяготения, действующую на яблоко, нужно представить, что вся масса Земли локализована в одной точке на глубине 6371 километров – таково расстояние от поверхности до центра Земли. Мы уже пользовались таким методом, когда сравнивали падающее яблоко и вращающуюся на орбите Луну.