Лекции по схемотехнике

Однако, число необходимых элементов в такой системе можно уменьшить, исключив из неё либо элемент ИЛИ, либо элемент И. Например, в соответствии с теоремой де Моргана, имеем . Отсюда следует, что операцию логического ИЛИ можно заменить операцией И над инверсными значениями переменных, , а затем к результату применить операцию инверсии и тем самым исключить элемент ИЛИ (Рисунок 4).

Рисунок 4 Реализация элемента ИЛИ на элементах НЕ, И

Аналогично можно исключить элемент И, заменив его операцией логической суммы над инверсными значениями переменных с последующим применением операции инверсии Следовательно, системы, состоящие из двух элементов(ИЛИ, НЕ либо И, НЕ), также являются функционально полными системами и содержат минимальный логический базис.

При схемной реализации функционально полных систем с минимальным логическим базисом идут по пути использования универсальных логических элементов: ИЛИ-НЕ, И-НЕ и И-ИЛИ-НЕ (Рисунок 5).

Рисунок 5 Универсальные логические элементы

Элемент ИЛИ-НЕ Рисунок 5,а) осуществляет логическую операцию , называемую также стрелкой Пирса. Элемент И-НЕ (Рисунок 5,б) осуществляет логическую операцию и называется штрих Шеффера. Элемент И-ИЛИ-НЕ (Рисунок 5,в) осуществляет операцию и является элементом сложного базиса.

Элементы универсальных базисов позволяют реализовать все три основные логические операции (Рисунок 6). Например, для осуществления операции НЕ с помощью элемента И-НЕ достаточно объединить входы (рисунок 6,а). Аналогично и для элемента ИЛИ-НЕ.

Рисунок 6 Реализация функций НЕ, И и ИЛИ на элементах И-НЕ

При последовательном соединении элемента И-НЕ и инвертора осуществляется операция логического умножения: (рисунок 6,б). Такое же соединение элементов ИЛИ-НЕ реализует операцию логического сложения:

Применение трёх элементов И-НЕ, два из которых работают в режиме инвертирования с объединёнными входами (рисунок 6,в), позволяют реализовать операцию логического сложения . Соединение трёх логических элементов ИЛИ-НЕ позволяет реализовать операцию логического умножения

В общем случае логическая функция Y может зависеть от нескольких переменных X 1, X 2,…, X n. Говорят, что функция Y определена, если известны её значения для всех возможных наборов переменных. Функция Y не определена, когда некоторые сочетания переменных по условию задачи невозможны. В этом случае её можно доопределить, приписав ей значение «1» либо «0» по соображениям удобства реализации.

Однозначная зависимость сложности логической формулы и функциональной схемы логического устройства приводят к выводу необходимости минимизации структурной формулы логического устройства. Минимизация осуществляется с использованием основных соотношений, законов и теорем алгебры логики.

Применение этого метода состоит в последовательном применении к некоторой формуле законов и правил тождественных преобразований алгебры логики. При этом широко используют следующие приёмы: прибавление одного или нескольких членов, входящих в СДНФ, поскольку X ∨ X ∨ X = X; выделение членов, содержащих множитель ; использование правила склеивания и др. Получающаяся в результате минимизации алгебраическая формула называется тупиковой. Функция может иметь несколько тупиковых форм.