Тулио Редже - Этюды о Вселенной

Такое расхождение не позволяет печатать достоверных земных атласов на плоских листах. Кстати, согласно известной теореме сферической геометрии, сумма внутренних углов треугольника α, β, γ, σменьшенная на 180°, пропорциональна площади треугольника:

α + β + γ – π = Οлощадь / (Радиус сферы) 2= A / R 2

В этой формуле все углы берутся в радианах. в случае рассмотренного земного треугольника мы, кстати, имеем

α = β = γ = 90° = π/2

оттуда

A = R 2(3π/2 – π) = π R 2/2 = 4π R 2/8

Площадь, как мы видим, становится равной одной восьмой всей сферической поверхности. Действительно, треугольник с тремя прямыми углами занимает один октант сферы. Приведенную формулу можно представить в следующем виде:

1 / R 2= (α + β + γ – π) / Площадь

по этой формуле можно вычислить 1/ R 2, т.е. «гауссову кривизну», зная площадь треугольника и его углы, т.е. величины, которые можно измерить, просто гуляя по Земле, не привлекая никаких сведений о внешнем пространстве.

Все эти представления были обобщены Риманом на случай пространств любой размерности; тогда место величины 1/ R 2занимает знаменитый тензор Римана, учитывающий изменение кривизны по всем направлениям.

Кривизна и материя

Выдающаяся идея Эйнштейна состояла в том, чтобы связать эту кривизну с распределением вещества в пространстве. Согласно Эйнштейну, пространство обладает кривизной, а мы до сих пор ее не замечали, потому что она мала и проявляется только через гравитационные эффекты.

Особенно наглядной является картина пространства, предложенная Эддингтоном. Он сравнивал пространство с хорошо натянутым эластичным полотнищем, которое в нормальном состоянии лежит целиком в плоскости. Если положить на полотнище тяжелые шары (символизирующие небесные тела), то оно искривится, изменив при этом свою геометрию. Каждый из двух находящихся рядом шаров стремится скатиться в яму, образованную соседом. Так, через посредство полотнища между шарами появляется сила взаимодействия, аналогичная силе тяготения. Действительно, в общей теории относительности силы тяготения возникают за счет искривления окружающего пространства. Между кривизной пространства и распределением вещества существует соотношение вида 1/ R 2= ( G / c 2)·ρ.

В этой формуле G представляет универсальную гравитационную постоянную, с – скорость света (около 300000 км/с), и G / c 2приблизительно равно 10...27 см/г. Плотность ρ измеряется в граммах на кубический сантиметр, так что правая часть соотношения измеряется в см –2, как и кривизна. Приведенная формула, по существу, представляет собой основной результат, полученный из уравнений поля Эйнштейна (если не считать длинного ряда тензорных индексов, от перечисления которых мы избавим читателя). Плотность воды соответствует кривизне R , равной примерно 100 млн. км. Таков радиус сферы, которую должна заполнить вода (если бы она была несжимаема), чтобы стать гравитационно-нестабильной и коллапсировать в черную дыру.

Параллельный перенос Леви-Чивита

Итальянскому математику Леви-Чивита пришла в голову гениальная идея, как объяснить и описать кривизну. Эта идея оказалась источником разнообразных обобщений и была использована выдающимся французским математиком Картаном.

Проделаем мысленный эксперимент: поместим пушку на Северный полюс и направим ее ствол в сторону г. Кито (Эквадор). Затем перевезем пушку по поверхности Земли в Кито, а из Кито в Либревиль (Габон) (оба города находятся на экваторе), сохраняя во время путешествия ствол пушки параллельным его первоначальному направлению. По прибытии в Либревиль ствол пушки будет направлен вдоль меридиана, т.е. на Юг. Если же мы сразу перевезли бы пушку в Либревиль, то он по прибытии был бы направлен вдоль экватора (в сторону Кито). Итак, результат зависит от конкретного пути, и в нашем случае (речь идет о результате точном и общем) угол между двумя этими направлениями и равен тем 90°, которые добавились к сумме внутренних углов треугольника.

Все это означает, что если пространство обладает кривизной, то вообще нельзя говорить о параллельности двух направлений, не исходящих из одной точки. в нашем пространстве этот эффект настолько мал, что заметить его в эксперименте типа эксперимента Леви-Чивита практически невозможно; тем не менее эффект существует и имеет большое философское значение. Нельзя в принципе делать какие-либо утверждения относительно взаимной ориентации двух удаленных друг от друга объектов; кривизна пространства вносит свои коррективы.