Валентин Асмус - Учение логики о доказательстве и опровержении

Опровержения, так же как и простые доказательства истинности тезиса, могут быть как прямыми, так и косвенными.

Условием прямого опровержения является доказательство истинности положения, противоположного опровергаемому тезису. Из истинности положения, противоположного опровергаемому тезису, на основании закона противоречия следует ложность самого опровергаемого тезиса. При этом истинное положение, противопоставляемое опровергаемому, может быть как противоречащим, так и противным. И действительно: заключение от истинности противопоставляемого положения к ложности опровергаемого делается на основании закона противоречия, который относится не только к противоречащим, но и к противным суждениям.

Если опровергаемое прямым способом положение — общее, то для опровержения его достаточно доказать истинность противоположного ему частного положения. Так, чтобы убедиться в ложности общего суждения о том, что все славянские языки имеют формы склонения имён, достаточно узнать об отсутствии форм склонения, например в именах болгарского языка. Так как противоположность здесь — противоречащая, то из истинности частного будет следовать необходимая ложность общего.

Но если опровергаемое прямым способом положение — частное, то для опровержения его уже недостаточно установить истинность противостоящего ему частного положения. Такая противопоставленность, будучи подпротивной, не допускает применения закона противоречия, а потому, доказав истинность частного положения, противостоящего опровергаемому, мы ещё не получим права заключать о ложности опровергаемого положения — тоже частного. Так, желая доказать ложность частного суждения «некоторые языки являются надстройкой над базисом», мы не можем удовлетвориться доказательством того, что «некоторые языки не являются надстройкой над базисом». Доказательство истинности этого частного положения не позволяет сделать заключение о ложности противостоящего ему частного положения: как подпротивные, оба суждения могут оказаться истинными. В этом случае для доказательства прямым способом ложности частного положения необходимо доказать истинность противоречащего ему общего положения, другими словами, доказать, что «ни один язык не является надстройкой».

Но опровержение может быть и косвенным. Оно совершается посредством уже известного нам приёма «приведения к нелепости» (reductio ad absurdum). Получение нелепого заключения путём вывода, все основания которого, кроме одного, заведомо истинны, и есть косвенное опровержение, т. е. косвенное доказательство посредством закона противоречия ложности того единственного основания, относительно которого не было известно, истинно оно или ложно, и которое только предполагалось истинным.

Во всех науках и во всех научных доказательствах все понятия, которые входят в состав доказательства, ведут своё происхождение в конечном счёте из материальной практики, из опыта. В этом отношении не составляют исключения и доказательства математических наук. Правда, понятия, которыми пользуется математик, отвлекаются от целого ряда свойств, принадлежащих предметам этих понятий. Математический круг, куб, шар и т. д. не существуют в опыте в том виде, в каком их мыслит ум геометра. И всё же даже самые отвлечённые понятия математики возникли в конечном счёте из опыта и на основе опыта. Это справедливо и относительно математических определений и относительно аксиом, т. е. недоказываемых положений, принадлежащих к начальным основаниям всего математического знания. Какими бы далёкими от опыта, а иногда даже противоречащими опыту ни казались эти определения и аксиомы,— все они в конце концов являются продуктами отвлечения от известных сторон опыта и не могли сложиться в мысли иначе, как на основе опыта.

Идеалисты отрицают опытное происхождение математических понятий. При этом они опираются на то, что математика мыслит свои предметы — линии, поверхности, тела и т. д.— такими, какими они в точности никогда не бывают в действительности. Математическая линия, например, имеет лишь длину, но не имеет ни ширины, ни высоты, математическое тело есть лишь замкнутая математическими поверхностями часть пространства, мыслимая независимо от наполняющего пространство вещества, и т. д. Опираясь на эту отвлечённость современных математических понятий, идеалисты утверждают, будто понятия эти не могут иметь своим источником опыт и потому являются априорными, т. е. внеопытными и доопытными.