Валентин Асмус: Учение логики о доказательстве и опровержении

Но никакие следствия, развиваемые из предположения, противоречащего постулату Евклида, не могли доказать абсурдность этого предположения. Никаких противоречий между теоремами, доказанными на основе предположения, противоречащего постулату Евклида, не получалось.

В конце концов Лобачевский убедился, что все старания ряда математиков доказать постулат Евклида, т. е. вывести его как следствие из других аксиом и постулатов Евклида, были ошибочны не только по выполнению, но и по замыслу. Постулат о параллельных оказался независимым от остальных аксиом и постулатов Евклида. С другой стороны, как уже говорилось выше, постулат этот не обладает и безусловной очевидностью. Тем не менее постулат Евклида является одним из оснований классической системы геометрии, не заключающей нигде в своих доказываемых с помощью этого постулата положениях никаких противоречий.

Небезусловная очевидность постулата Евклида и отсутствие противоречий в системе теорем, доказываемых на основе постулата, противоречащего постулату о параллельных, даёт возможность поставить вопрос, каков будет результат, если вместо постулата Евклида в число оснований геометрии будет принят другой — тоже не безусловно очевидный — постулат. Согласно последнему, получившему название постулата Лобачевского, через данную точку С, лежащую вне данной прямой АВ, можно провести в одной с ней плоскости не одну единственную не пересекающуюся с прямой АВ прямую, как это утверждает постулат Евклида, а целый пучок прямых, заключающийся между двумя прямыми KL и MN, проходящими через данную точку (см. рис.1) и называемыми параллельными относительно АВ [20] Разумеется, сама мысль о замене постулата Евклида постулатом Лобачевского была обоснована отнюдь не только формальнологической допустимостью замены одного не безусловно очевидного положения другим, столь же лишённым безусловной очевидности. Математика не есть лишь сумма формальнологических операций, применяемых к любым мыслимым или воображаемым аксиомам. Мысль о замене постулата Евклида постулатом Лобачевского имеет предметное, а не только формальнологическое основание. Таким предметным основанием является то, что новая система геометрии, опирающаяся на постулат Лобачевского, представляет во всех теоремах, доказываемых с помощью этого постулата, свойства особого, так называемого «гиперболического», пространства, отличающиеся от свойств пространства, отражаемого постулатом и теоремами геометрии Евклида. .

Исследования Лобачевского показали, что замена постулата Евклида постулатом Лобачевского приводит к выявлению новой системы геометрии, получившей название геометрии Лобачевского и оказавшейся одним из видов так называемой неевклидовой геометрии. В геометрии Лобачевского сохраняются все определения, аксиомы и постулаты геометрии Евклида, кроме 5-го постулата, или 11-й аксиомы. Последний заменяется постулатом Лобачевского. Доказательства теорем развиваются безупречно строго в полную систему геометрии, которая нигде не приводит ни к каким противоречиям. По содержанию теоремы геометрии Лобачевского делятся на два класса: во-первых, теоремы, доказываемые без помощи постулата Лобачевского (так называемая абсолютная геометрия), и, во-вторых, теоремы, доказываемые с помощью этого постулата. Первые ничем не отличаются от соответствующих теорем Евклида. Вторые отличаются, а именно: разность в численных результатах этих теорем сравнительно с результатами теорем Евклида тем больше, чем больше масштаб соответствующего геометрического объекта. Например, по Евклиду, сумма внутренних углов плоского треугольника равна двум прямым. По Лобачевскому, эта сумма меньше двух прямых. При этом разность эта тем больше, чем больше данный треугольник.

Открытие Лобачевским неевклидовой геометрии означало эпоху не только в развитии математики, но также и в развитии логического учения об аксиомах как об основаниях доказательства. Это открытие Лобачевского нанесло смертельный удар идеалистическим теориям рационалистов и кантианцев. Логики этого направления сущность аксиом полагали в их интуитивной, т. е. непосредственной очевидности, в их априорной, т. е. будто бы предшествующей всякому опыту, безусловной и необходимой наглядности. Так как, по Канту, истины математики имеют, во-первых, всеобщий и необходимый характер, во-вторых, основываются на априорных формах чувственной интуиции, то ни о какой неевклидовой геометрии, разумеется, не может быть и речи.