Андрей Сафонов - Пушистые логарифмы

Нелинейная динамика проливает свет на внутренние процессы творчества: если бы в нем правил чистый хаос, это могло бы привести разве что к шизофрении, если бы правил только аналитический разум – были бы закрыты каналы для создания нового. Но в творчестве порядок творится из хаоса – так, из множества пролетающих идей рождается книга, а из случайных звуковых рядов появляется музыкальное произведение.

Поток окружающих нас явлений может показаться бессмысленным, но не сокрыты ли за этой бессмыслицей сокровенные аттракторы мечты?

Даже элементарные открытия, сделанные самостоятельно, могут сделать то, чего не сделают сотни зазубренных учебников, – вызвать настоящую теорию (изначально под этим словом пифагорейцы понимали мистический экстаз от соприкосновения с истиной). Теория – своего рода молния из страны смысла. Однажды, когда я готовил макароны, эта молния слегка коснулась меня. Я увидел, как раздувающиеся пузыри в кипящей воде в страшной давке за «место под солнцем» стали приобретать какие-то странные формы… Мгновенная вспышка, и я «увидел» ответ на вопрос, смутно терзавший меня с детства: почему в природе так часто встречаются шестиугольники? Пчелиные соты, клетки, узоры на панцирях черепах…

Шестиугольник – идеальная фигура, чтобы замостить плоскость без пробелов. Это уже что-то, т. к. для подобной цели не подойдут ни круги, ни семи- и девятиугольники. Но откуда пчелы знают о таких геометрических тонкостях? И почему не используют более простые треугольники или квадраты, которые тоже легко подгоняются друг к другу?

Для того чтобы пережить маленькую «теорию», делаем простую математическую модель без единой формулы. Возьмем горсть одинаковых монет. Одну поставим в центр, а другие расположим вокруг так, чтобы все они соприкасались друг с другом. Мы увидим между ними похожие на треугольники зазоры, из-за которых круглой плиткой мы плоскость не замостим. Но вот что интересно – сколько бы раз мы не проделывали этот эксперимент, монеток по краям всегда будет ровно шесть!

Представим теперь, что монетки начинают раздуваться, как пузыри, пытаясь отвоевать друг у друга пустое пространство. Конкуренция деформирует личности и целые народы, чего уж говорить о кругах… В случае равномерного давления шесть точек соприкосновения разобьют окружность на шесть дуг, каждая из которых в конечном итоге распрямится в отрезок, и мы получим идеальное шестиугольное замощение. Круг, шар – наиболее естественная форма заполнения пространства – из центра во все стороны. При «честной» конкуренции круги становятся шестиугольниками. В случае же неравной борьбы получаются пятиугольники и другие альтернативные формы «замощения».

Вряд ли данная геометрическая метаморфоза объяснит нам шестиугольность бензольного кольца, но на устройство сот, клеток, а возможно, и на какие-то тайны геополитики, вероятно, прольет какой-то свет.

Однажды, наблюдая с сыном за поведением капель растительного масла в воде, я вновь пережил вспышку «теории», в пифагорейском смысле этого слова. В этот раз круги не давили друг на друга, как при кипении воды или в пчелиных сотах. Метаморфоза как будто свернула на соседнюю тропинку, и вместо привычных шестиугольников я увидел что-то вроде проколов в матрице.

Представим себе, что нам нужно замостить плоскость круглой плиткой сколь угодно малых размеров. Заполнить пространство как в случае с квадратами или шестиугольниками не получится: между окружностями всегда будут оставаться пробелы. Попытаемся заполнить их плиткой меньшего радиуса (именно так ведут себя пузыри, возникающие между пузырями). Очевидно, что пробелы не уйдут ни в этот раз, ни в следующий… Какие бы маленькие круги мы ни брали, всегда будет оставаться зазор, поэтому процесс можно потенциально продолжать до бесконечности.

Подобные структуры можно увидеть на поверхности свежесваренного кофе, в луже и везде, где давка не превращает их в многоугольники (хотя возможен и симбиоз, как в банке с мыльными пузырями).

Понятно, что в каждом случае процесс заполнения в какой-то момент заканчивается. Но то, что потенциально в природе, – актуально в математике, и чисто логически никто не мешает рассмотреть предельный случай, когда все пробелы заполнены бесконечностью уменьшающихся кругов. Данному математическому монстру я дал название «буржуйский сыр», что вполне характеризует экономические возможности данного принципа.