В Библер - От наукоучения - к логике культуры (Два философских введения в двадцать первый век)

"Пропущенные через игольное ушко" парадокса, исходные множества преобразовались; они теперь иные множества, становящиеся самими собой в тот момент, когда брадобрей священнодействует, брея самого себя. Брадобрей здесь не "исходный" парикмахер, учрежденный по приказу то ли мэрии, то ли Бертрана Рассела. Тот должен брить, и все. Основная работа нашего брадобрея порождать (обосновывать) особое множество лиц, не бреющих себя именно в тот момент и именно потому, что и когда они себя бреют, это не множество, это субъект, порождающий множество. Или еще так: множество, порождающее самого себя.

Исходные множества расселовского парадокса (множество не бреющих себя и множество совершающих сей обряд) - это множества обычные, поэлементные, они объединяются воедино только потому, что одинаково ("поодиночке") не бреются или бреются. Их определение нейтрально к своему предмету. Но множество (из одного человека), порождаемое брадобреем (коль скоро он себя бреет, то не бреется сам), - это совсем иное множество, больше того, переход к иной теории множеств (шире - к иной логике).

Множество всех множеств, не являющихся своими элементами, не может наличествовать в качестве своего элемента и не может не наличествовать. Оно порождает себя в качестве своего элемента и тем самым порождает себя в качестве множества, не могущего быть своим элементом. Оно не собственный элемент и не "не собственный элемент", оно - потенция того и другого, или, точнее, субъект, формирующий то и другое множества.

Такое множество порождает себя как предмет определения и одновременно как определение предмета. Порождает себя как понятие!

В теории множеств (не только в ней, но сейчас мы продумываем именно эту горячую точку развития математики) произошло исторически определенное самоотнесение коренных логических идеализаций всего теоретического мышления Нового времени, тех особенных предметных идеализаций, которые сделали некогда возможным (необходимым) расщепленное развитие одной логики в двух формах - логики определения и логики доказательства.

Речь идет прежде всего о самоисчерпании (в теории множеств) такой исходной идеализации математического мышления Нового времени, как отождествление (слабое, оппортунистическое) потенциальной бесконечности, бесконечности вывода и определяемой величины (скажем, скорости в данной точке в нулевой промежуток времени).

"Актуальная бесконечность" канторовской теории множеств потребовала непосредственного отождествления бесконечности и конечности, континуальности и дискретности в определении всеобщего "предмета" математической мысли (множества). Это требование означало, далее, необходимость коренного изменения методов дедукции (логики в узком смысле слова), необходимость привести дедукцию в соответствие с радикально "самозамыкающимся", самообосновывающим себя идеализованным предметом.

Чтобы последнее утверждение было ясным, немного о логических предпосылках такой постановки вопроса.

Исходные идеализации каждой особенной логической культуры - всегда формы введения бесконечности в определение конечного, особенного предмета. Логика Нового времени вводит в определение конечного предмета бесконечность (потенциальную) таким образом, что между предметом и его бесконечным "приближенным" измерением всегда остается щель, совпадение оказывается неполным; вычисление (измерение) никогда не может быть до конца тождественным определению. Именно поэтому логика "определения" и логика "вывода" могли существовать раздельно, квазисамостоятельно, и логический вывод никогда не замыкался на содержательное определение, а содержательная теория ничего не подозревала о своем логическом формализме. В таких условиях исходная идеализация (определение) оставалась по ту сторону логического движения; этой идеализации не могло коснуться лезвие логического анализа (между определением идеализованного предмета и логикой дедукции вечно сохранялся зазор). Опасности самообоснования не могли стать реальными логическими проблемами. Исходные "аксиомы", не замыкаясь на себя, великолепно работали "от себя", в расчете тех или иных "физических процессов".

В теории множества такого зазора уже не может быть, идея бесконечного приближения к дискретной величине уже не "срабатывает". "Быка", то бишь дискретное, конечное, особенное, надо сразу же "брать за рога", то бишь за его бесконечное континуальное, всеобщее определение. В конкретной (относительно конкретной) математической теории обнаруживается симптом всеобщего логического кризиса. Идея предмета (линии, числа, "точки") как актуальной бесконечности требует постоянного целенаправленного внимания к проблеме самообоснования логических начал; ведь бесконечность анализа должна теперь изнутри войти в определение конечного предмета.