Б. Бирюков - Теория смысла Готлоба Фреге

Например, в результате такого анализа предложение (14) принимает вид:

(16) «А утверждал, что он видел Б, и А не видел Б».

Применимость принципа замены равнозначного на равнозначное к предложениям «А утверждал, что он видел Б » и «А не видел Б », рассматриваемым (каждое) в целом, очевидна. Что касается придаточного предложения «он видел Б », то к нему правило замены тоже применимо, но только в той форме, в какой это правило применяется к косвенной речи.

Фреге понимал, что не всякое предложение легко поддается анализу по предложенному им способу. Он писал: «Если мы станем так рассматривать все встречающиеся в языке придаточные предложения, мы вскоре встретим такие, которые не так-то легко разложить по этим полочкам (имеются в виду выделенные Фреге четыре группы придаточных предложений.- Б.Б. ). Причина этого, как мне кажется, состоит в том, что эти придаточные предложения имеют отнюдь не такой простой смысл. Кажется, почти всегда мы соединяем с главной мыслью, которую мы выражаем, побочные мысли, которые, хотя они и не выражаются в языке, слушатель, по законам психологии, тоже связывает с нашими словами» [5, стр. 46]. В таких случаях следует точно выяснить, что же именно имел в виду человек, высказавший данное предложение, и только после этого проводить анализ последнего.

Математическая логика, по крайней в основной, «классической», ее части, охватывающей обычное двухзначное исчисление высказываний и исчисление предикатов, носит объемный характер. В ней справедлив так называемый принцип объемности, согласно которому два предиката (свойства или отношения) не различаются, если они имеют один и тот же объем. Этот принцип получил четкую формулировку после того, как Фреге ввел в логику представление о предикатах как о логических функциях, т. е. функциях, относящих предметам (двойкам, тройкам и т. д. предметов) рассматриваемой предметной области истинностные значения – истину или ложь [45] . В объемной логике предикат считается заданным, если указан его объем, т. е. в какой-либо форме сообщено, каким предметам (парам, тройкам и т. д. предметов) рассматриваемой предметной области предикат относит «истину». Поэтому оказывается возможным просто отождествить свойства с множествами предметов, а отношения – с множествами пар, множествами троек и т. д. предметов. Свойства и отношения, рассматриваемые таким образом, можно называть свойствами и отношениями в объемном смысле. В математике объемный подход полностью себя оправдывает. Хорошо известно, что средств объемной, теоретико-множественной логики достаточно для обоснования большей части современной математики.

Естественно поставить вопрос: какой характер носило построенное Фреге логическое исчисление, пользуясь средствами которого выдающийся немецкий логик предпринял обоснование арифметики [3 и 4], действовал ли в исчислении Фреге тезис объемности? Исчисление Фреге носило объемный характер. Если два предиката (две логические функции) Φ(x) и Ψ(x) для любого аргумента принимают одно и то же значение, то мы можем, утверждает Фреге, превратить всеобщность этого равенства в равенство объемов, которые соответствуют этим предикатам. «На эту возможность следует смотреть как на логический закон, которым, впрочем, хотя и молчаливо, мы всегда уже пользовались, когда речь шла об объемах понятий. На нем в общем и целом и основано лейбницево-булевское логическое исчисление» [3, стр. 14). При этом следует особо подчеркнуть то, что объем понятия (т. е. класс предметов, для которых данная логическая функция принимает значение «истина») [46] Фреге считает особым логическим предметом (подобным двум истинностным значениям).

Известно, что иной формой принципа объемности является лейбницевская аксиома равенства. Она гласит, что два предмета равны, если, и только если, всё, что верно относительно одного предмета, верно и относительно другого предмета, и наоборот. Эту аксиому можно выразить и в виде правила (будем называть его правилом Лейбница) которое читается так: если p равно q, то в любом предложении Φ, содержащем p, последнее можно заменить (во всех или некоторых местах предложения Φ, где встречается p) на q, и при этом истинность высказывания не изменится; наоборот, если такая замена p на q возможна в любом предложении Φ, то p равно q ([21], стр. 91-92 и примечание редакции на стр. 293) [47] .

Так как объемы выступают в качестве предметов, то они подпадают под это правило. Это значит, что если про некоторый класс А что-то сказано, то это можно повторить и про класс В в случае, если А совпадает с В. Но «сказать» про класс А можно не только при помощи оборота «класс А», но также употребив понятие того свойства, которое определяет данный класс. Про класс людей можно нечто высказать, не только употребив выражение «человечество», но и прибегнув к понятию «человек» (т. е. к понятию о свойстве быть человеком). Известно, что один и тот же класс может определяться различными свойствами. Из правила Лейбница следует, что понятия о свойствах и отношениях, определяющие один и тот же класс, т. е. равнообъемные понятия, можно заменить друг другом. Например, понятия о прямой, соединяющей вершину равностороннего треугольника с серединой противоположной стороны, и о прямой, делящей угол равностороннего треугольника пополам, равнообъемны. Поэтому, по правилу Лейбница, их можно заменить друг другом в любом предложении. Так, из истинного предложения (17) «Прямые, соединяющие вершины равностороннего треугольника с серединами противоположных сторон, пересекаются в одной точке» получается истинное предложение