Георгий Рузавин - Логика и аргументация - Учебн. пособие для вузов.

Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.

Чтобы превратить пропозициональные функции в подлинные высказывания, можно, во-первых, придать переменным конкретные значения, как это было показано выше; во-вторых, можно пойти по линии квантификации высказываний. Для пояснения обратимся к примеру. Выражение

x + у = у + x

можно превратить в конкретное высказывание, если вместо переменных х и у взять определенные числа. Но можно получить высказывание общего характера, если мы свяжем переменные кванторами, которые показывают, что рассматриваемое тождество выполняется для всех чисел. Поэтому мы можем записать его в следующей форме:

(х)(у)(х + у = у + х),

где (х) и (у) обозначают кванторы общности, которые часто называют также универсальными кванторами. Эта формула выражает истинное общее высказывание, известное как коммутативный (переместительный) закон для сложения, который обычно словесно передают так: сумма не меняется от перестановки слагаемых.

С помощью высказываний с универсальным квантором формулируются общие законы науки, в частности математические законы, теоремы и их следствия. Обратите внимание, что термин "универсальный" относится только к общим высказываниям определенной предметной области, например, математики, физики, экономики и других наук. Очевидно, что даже в математике не все высказывания имеют универсальный характер. Например, формула х + у = 5 удовлетворяется только при определенных числовых значениях переменных, а именно только тогда, когда х = 1 и у = 4, или х = 2 и у = 3, или х = 3 и у = 2, или х = 4 и у = 1. Поэтому нельзя утверждать, что данное равенство выполняется для всех чисел. Можно лишь сказать, что существуют числа, которые удовлетворяют равенству х + у = 5. Вместо слов " существуют числа х и у" можно ввести квантор существования. Тогда указанное равенство можно представить в такой символической форме:

(Ех) (Еу) (х + у = 5),

где (Ех) и (Еу) - кванторы существования.

В традиционной логике эти высказывания называют частными суждениями. Такие суждения оцениваются как истинные или ложные.

Таким образом, один из способов образования высказываний состоит в том, что сначала мы составляем пропозициональную функцию, где фигурируют соответствующие переменные, а затем связываем их кванторами общности и существования. Благодаря этому получаются общие и частные высказывания.

Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось, ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.

Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный целостный, единый смысл.

Таким образом, при логическом объединении высказываний абстрагируются от конкретного содержания и смысла высказываний. Поэтому с точки зрения обыденного сознания некоторые логические операции кажутся явно парадоксальными. Именно поэтому начинающие изучать логику здесь сталкиваются с наибольшими трудностями. Чтобы их преодолеть, необходимо с самого начала понять, что логический подход является более общим, и потому он не может учитывать все конкретные особенности употребления союзов в грамматике.

Прежде чем перейти к определению логических операций и связок, посредством которых образуются сложные высказывания из простых, необходимо руководствоваться следующими допущениями.

1. Любое высказывание в классической логике имеет одно и только одно из двух значений истинности - "истину" или "ложь". С этой точки зрения истинностное значение будущих событий остается неопределенным.