Георгий Рузавин - Логика и аргументация - Учебн. пособие для вузов.

Индуктивные определения обычно используются в математике для точного определения ряда основных понятий. В качестве примера рассмотрим определение понятия натурального числа, предложенное итальянским математиком Дж. Пеано:

1) "0" есть натуральное число;

2) если n - натуральное число, то следующее непосредственно за ним число и' также будет натуральным числом;

3) никаких других натуральных чисел, кроме тех, которые образуются с помощью правил 1 и 2, нет;

4) для любых натуральных чисел выполняется условие: если последующие их числа равны, т. е. m' = n', то равны и предыдущие числа, m = n. Наоборот, из условия m = n вытекает, что m' = n',

5) нуль не следует ни за каким натуральным числом.

В этом определении, с одной стороны, перечисляются способы образования натуральных чисел, а с другой - указываются свойства, которыми они обладают. Нередко сюда относят и принцип математической индукции.

В логике индуктивные определения используются для точного описания способов образования ее исходных объектов, например, какие формулы являются формулами исчисления высказываний или предикатов. Об этом речь пойдет в последующих главах.

Операциональные определения применяются главным образом в экспериментальных науках, в особенности в физике, а в последние годы к ним стали обращаться также в экспериментальной психологии и в микросоциологии. Обычно такие определения указывают на последовательность тех измерительных операций, которые надо осуществить, чтобы получить искомое значение конкретной величины, например силы тока или сопротивления проводника в физике, интенсивности ощущения - в психологии, чувства солидарности - в социальном коллективе и т.д. Не все логики признают такие определения полноценными. В лучшем случае, считают критики, таким образом определяются эмпирические понятия, которые не содержат абстрактных терминов. Действительно, когда определяется, например, длина, то речь идет не об абстрактном понятии длины вообще, а конкретной длине физического предмета. Тем не менее, операциональные определения играют важную роль при введении первоначальных, эмпирических понятий. Таким образом, они служат для установления связи между опытом и теорией, и поэтому могут быть использованы для обоснования и проверки абстрактных понятий, гипотез и теорий.

Наиболее известным и широко распространенным способом определения понятий, известным еще со времен Древней Греции, является определение через ближайший род (или класс) предметов, к которому относится определенный вид. Как показывает само название, для такого определения необходимо, во-первых, установить ближайший род (или класс) предметов, во-вторых, указать видовое отличие определяемого понятия. Так, чтобы определить понятие квадрата, можно указать несколько родов (или классов) геометрических объектов, в объем которых входит объем понятия квадрата. К ним относятся четырехугольники, параллелограммы, прямоугольники и ромбы. Ближайшими же родами служат ромбы и прямоугольники. Чтобы выделить квадраты среди ромбов и прямоугольников, следует указать их видовые (или специфические) признаки, которые по-латыни называются differentia specified. Поэтому квадрат можно определить, с одной стороны, как равносторонний прямоугольник, а с другой - как равноугольный ромб. Оба эти определения являются эквивалентными, так как выделяют тот же самый класс объектов, хотя в первом случае ближайшим родом служит множество прямоугольников, а во втором - множество ромбов.

Специфический видовой признак может быть задан и другими способами, но при этом он должен всегда соотноситься с ближайшим родом. Так, например, в генетических определениях отличительный видовой признак показывает характер происхождения или образования определяемого понятия. Типичным примером подобного определения может служить определение окружности как геометрического места точек или замкнутой кривой, образованной движением отрезка прямой вокруг неподвижной точки - ее центра.

Ошибки, которые могут возникать при рассмотренном методе определения понятий, были проанализированы еще Аристотелем. Они связаны с несоразмерностью объемов определяемого и определяющего понятий. При правильном определении эти объемы совпадают. Так, объемы равносторонних прямоугольников и квадратов одинаковы, и поэтому определение квадрата как равностороннего прямоугольника правильно.