Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

График решения этого уравнения (рис. 7.6) представляет хорошо известную синусоидальную функцию. Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь.

Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора

Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a):

> restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x));

> de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x);

> yx0:=y(0)=0,y(1)=1;

> dsolve({de,yx0},y(x));

Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11.

Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде

dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...)

Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости. Они могут задавать начальные условия, явно представлять искомые зависимости, выбирать метод решения и т.д. Детали задания опциональных параметров можно найти в справке.

На рис. 7.7 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 7.7. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Практически полезные примеры решения дифференциальных уравнений, в том числе с постоянными граничными условиями, вы найдете в Главе 11.

В качестве еще одного примера решении системы из двух дифференциальных уравнений рассмотрим модель Стритера-Фелпса, предложенную для описания динамики содержания растворенного в воде кислорода. Описание этой модели можно найти в [41]. Ниже представлено задание этой модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений и их аналитическое решение (файл demp):

> sys := diff(x1(t),t) = K1*(C-x1(t))-K2*x2(t), diff(x2(t),t) = -K2*x2(t);

> dsol := dsolve({sys,x1(0) =a, x2(0)=b),{x1(t),x2(t)});

Здесь: x1(t) — концентрация в воде растворенного кислорода в момент времени t; x2(t) — концентрация биохимического потребления кислорода (БПК), С — концентрация насыщения воды кислородом, K1 — постоянная скорости аэрации, K2 — постоянная скорости уменьшения (БПК), a — начальное значение x1(t) и b — начальное значение х2(t) при t=0.

В данном случае получены два варианта аналитического решения — основное и упрощенное с помощью функции simplify. Читатель может самостоятельно построить графики зависимостей x1(t) и x2(t).

К сожалению, аналитического решения в общем случае нелинейные дифференциальные уравнения не имеют. Поэтому их приходится решать численными методами. Они удобны и в том случае, когда решение надо представить числами или, к примеру, построить график решения. Поясним принципы численного решения.