Коллектив Авторов - Базы данных - конспект лекций

Правило вывода 2.inv r(S) ⇒ inv r(S);

Правило вывода 3.inv r(S) & inv r(S) ⇒ inv r(S);

Проведем доказательстваэтих правил вывода.

1. Доказательство правила рефлексивностиследует непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости при подстановке вместо подсхемы Y – подсхемы X.

Действительно, возьмем ограничение функциональной зависимости:

Inv r(S) и подставим в него X вместо Y, получим:

Inv r(S), а это и есть правило рефлексивности.

Правило рефлексивности доказано.

2. Доказательство правила пополненияпроиллюстрируем на диаграммах функциональной зависимости.

Первая диаграмма – это диаграмма посылки:

посылка: X → Y

Вторая диаграмма:

заключение: X ∪ Z → Y

Пусть кортежи равны на X ∪ Z. Тогда они равны на X. Согласно посылке они будут равны и на Y.

Правило пополнения доказано.

3. Доказательство правила псевдотранзитивноститакже проиллюстрируем на диаграммах, которых в этом конкретном случае будет три.

Первая диаграмма – первая посылка:

посылка 1: X → Y

посылка 2: Y ∪ W → Z

И, наконец, третья диаграмма – диаграмма заключения:

заключение: X ∪ W → Z

Пусть кортежи равны на X ∪ W. Тогда они равны и на X, и на W. Согласно Посылке 1, они будут равны и на Y. Отсюда, согласно Посылке 2, они будут равны и на Z.

Правило псевдотранзитивности доказано.

Все правила доказаны.

Другим примером правил, с помощью которых можно, при необходимости вывести новые правила функциональной зависимости, являются так называемые производные правила вывода.

Что это за правила, как они получаются?

Известно, что если из одних правил, уже существующих, законными логическими методами вывести другие, то эти новые правила, называемые производными, можно использовать наряду с исходными правилами.

Необходимо специально отметить, что эти самые произвольные правила являются «производными» именно от пройденных нами ранее правил вывода Армстронга.

Сформулируем производные правила вывода функциональных зависимостей в виде следующей теоремы.

Теорема.

Следующие правила являются производными от правил вывода Армстронга.

Правило вывода 1.├ X ∪ Z → X;

Правило вывода 2.X → Y, X → Z ├ X ∪ Y → Z;

Правило вывода 3.X → Y ∪ Z ├ X → Y, X → Z;

Здесь X, Y, Z, W, так же как и в предыдущем случае, – произвольные подсхемы схемы отношения S.

1. Первое производное правило называется правилом тривиальностии читается следующим образом:

«Выводится правило: “объединение подсхем X и Z функционально влечет за собой X”».

Функциональная зависимость с левой частью, являющейся подмножеством правой части, называется тривиальной. Согласно правилу тривиальности ограничения тривиальной зависимости выполняются автоматически.

Интересно, что правило тривиальности является обобщением правила рефлексивности и, как и последнее, могло бы быть получено непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости. Тот факт, что это правило является производным, не случаен и связан с полнотой системы правил Армстронга. Подробнее о полноте системы правил Армстронга мы поговорим чуть позднее.

2. Второе производное правило называется правилом аддитивностии читается следующим образом: «Если подсхема X функционально определяет подсхему Y, и X одновременно функционально определяет Z, то из этих правил выводится следующее правило: “X функционально определяет объединение подсхем Y и Z”».