Кен Лю - Исчисляемый

Бетти ушла с малышкой в спальню. Она всегда уходила, когда в голосе Джека появлялась эта характерная интонация.

А Дэвиду захотелось, чтобы он был ростом с отчима, с такими же толстыми бицепсами, мозолистыми костяшками пальцев и плоским носом, которому и удары нипочем. И чтобы у него были когти и острые зубы.

– Георг Кантор стал первым, кто всерьез задумался над понятием бесконечности, – сказала мисс By.

«Клуб математиков» был секретом Дэвида. Приходя сюда, он рисковал. Вступая в любой клуб, ты раскрываешь что‑то о себе, делаешь себя уязвимым, если твоя задача – раствориться, не оставлять следов. Он мог представить, как стал бы насмехаться Джек, если бы узнал.

«Решил, что ты умный, да? – Он представил злобный взгляд Джека, его желтые зубы и запах перегара изо рта. – Совсем как твой папаша. Только посмотри, куда довел его умишко, когда он не сумел удержать член в штанах».

– Он задумался о размере бесконечности, – продолжила мисс By. – Человеку трудно представить бесконечность, но Кантор дал нам возможность быстро взглянуть на нее и удержать в сознании, пусть даже на секунду.

Как по‑вашему, что больше: бесконечный набор всех положительных рациональных чисел или бесконечный набор всех натуральных чисел?

Вполне естественной кажется мысль, что положительных рациональных чисел гораздо больше, чем натуральных. В конце концов, только между нулем и единицей имеется бесконечное количество рациональных чисел. И между каждой последовательной парой натуральных тоже бесконечно много интервалов. Бесконечность, умноженная на бесконечность, должна быть больше, чем просто бесконечность.

Великим озарением Кантора стало то, что всё не так. Есть способ отобразить каждое натуральное число относительно положительного рационального числа таким образом, что будет видно – оба набора одинакового размера.

Положительное рациональное число имеет форму p/q, где р и q – натуральные числа. Следуя вдоль стрелок на графике, мы можем быть уверены, что каждое положительное рациональное число будет рано или поздно пронумеровано на зигзагообразном пути через плоскость (пропуская любые повторения): первое 1/1, второе 2/1, третье 1/2, четвертое 3/1, пятое 1/3, шестое 4/1, седьмое 3/2, восьмое 2/3, и так до бесконечности. Подсчитывая их, мы отображаем каждое натуральное число относительно положительного рационального. И хотя кажется, что вселенная рациональных чисел будет намного больше вселенной натуральных чисел, оказывается, что они одного размера.

Но Кантор приводит еще более странный аргумент. Используя тот же метод, можно показать, что в интервале от 0 до 1 существует столько же рациональных чисел, сколько и всех рациональных чисел.

Просто немного изменив путь, чтобы всегда оставаться ниже линии p=q, мы сможем пересчитать все рациональные числа между 0 и 1. Поскольку здесь отображение один к одному, или биективное (биекция), между натуральными и положительными рациональными числами и биекция между натуральными и рациональными числами в интервале от 0 до 1, мы знаем, что все наборы имеют одинаковый размер, или одинаковую кардинальность. Кардинальное число набора всех натуральных чисел называется алеф‑ноль, по названию буквы «алеф» в ивритском алфавите.

Алеф‑ноль заводит нашу интуицию в тупик. На графике вверху видно, что все рациональные числа между 0 и 1 занимают половину плоскости всех рациональных чисел, а остальные рациональные числа находятся на второй половине, и при этом одна половина не больше другой или всей плоскости. Разделите бесконечность пополам, и у вас все равно останется бесконечность. Превратите числовую прямую в плоскость, умножьте бесконечность на бесконечность, и все равно у вас получится бесконечность одного и того же размера.

Значит, можно утверждать, что часть способна быть такой же большой, как и целое. И что можно отобразить всю бесконечную последовательность рациональных чисел в пределах кажущегося конечным сегмента между 0 и 1. В каждой песчинке заключена Вселенная.

Одним из немногих воспоминаний Дэвида об отце стала поездка всей семьей на море. Дэвид даже не был уверен, что та поездка состоялась на самом деле, потому что был еще совсем маленьким.