Коллектив авторов - Млечный Путь №2 (2) 2012

Дифференциал – это и есть тот отрезок прямой, которым заменяют истинную кривую на коротком участке с соблюдением указанного условия. Коротком настолько, что его называют «бесконечно малым». Естественно при этом, что дифференциал не имеет никакой внутренней структуры и равномерно заполнен точками.

Физическим следствием такой математической процедуры является появление принципа причинности – если в данной точке кривой лежит начало «отрезка дифференциала» (причина), то в его конце однозначно возникает другая точка – следствие.

Второй вариант – это вариант со «свободой воли». Квантовая неопределенность – это только другая форма этого понятия. Здесь именно она, таинственная, но реальная способность к «свободному выбору» значения пары «причина – следствие» определяет направления движения во времени и творит действительность.

Теперь перейдем к разбору сути эссе Р. И. Пименова. Оно посвящено обсуждению применимости традиционного математического аппарата к физической природе вещей.

Аппарат этот чрезвычайно сложен. Но, вслед за Р. И. Пименовым, нас будет интересовать «дифференциально-топологический этаж» математического здания. О дифференциале было сказано выше. Теперь рассмотрим еще два математических понятия – топология и гладкость .

В «Большом толковом словаре современного русского языка» Д. Н. Ушакова дано такое определение: «ТОПОЛО́ГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos – место и logos – учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур ( т. е. независящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т. п.)». Более строго можно сказать, что топология – это конкретное средство объединения близких элементов множества в особые непрерывные подмножества.

Важно отметить, что современная топология имеет дело не только с геометрическими множествами (линиями, фигурами, телами), но и с любыми множествами.

Конкретизируя математические абстракции, можно отметить, что очень богато топологиями, например, множество живущих на Земле людей – человечество. Расы, языки, темпераменты, ментальности, профессии и многие другие виды общностей могут являться конкретными топологическими принципами объединения людей в реальные целостные подмножества.

В отличие от метрических геометрий, в топологии не рассматриваются свойства объектов, характеризующиеся расстоянием между парой элементов (точек). И топологически эквивалентными оказываются, например, куб и сфера. Надуйте резиновый куб, и он превратится в сферу!

Теперь о гладкости – «главном герое» эссе Р. И. Пименова. Вот как характеризует он современное понимание гладкости в математике: «…дифференциальная топология установила, что гладкость является совершенно самостоятельным объектом, НЕ ВЫВОДИМЫМ и НЕ СВОДИМЫМ ни из, ни к другим конструкциям».

Дифференциальная топология – это раздел топологии, основанный на аппарате дифференциального исчисления. И именно аксиомы математического анализа (прежде всего, существование бесконечно малых величин и их свойства) и являются основаниями для описания гладкости пространства.

Здесь хотелось бы предупредить читателя от одного распространенного заблуждения. Пространство в математике и физике – это не «бесструктурная и бесформенная пустота». В математике у пространства есть две обязательные характеристики – размерность и метрика. Размерность определяется по числу независимых характеристик (измерений), которые необходимы, чтобы определить точку в этом пространстве. А метрика – это способ задания расстояний между точками пространства. Например, две точки на шаре разделены расстоянием, которое может измеряться «по прямой» (в земных условиях – это прямой туннель из, скажем, Москвы до Иерусалима), а может – по «геодезической», которая равна кратчайшему маршруту самолета на этой трассе.