Дарья Нестерова - Энциклопедия лучших игр со словами и цифрами

Конструктор

Условие

Никите подарили игру «Конструктор», в которой было 100 деталей разной длины. В инструкции к игре написано, что из любых 3 деталей можно составить треугольник.

Никита решил проверить это утверждение и стал составлять из деталей треугольники.

Детали лежат в наборе по возрастанию длины.

Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) необходимо сделать Никите, чтобы доказать или опровергнуть то, что написано в инструкции?

Ответ

Никите нужна только 1 проверка. Ему достаточно проверить, можно ли составить треугольник из 2 самых коротких деталей и 1 самой длинной.

Если треугольник не составляется, то утверждение инструкции опровергнуто. Если же его можно составить, то сумма длин 2 самых коротких деталей больше длины самой длинной, а это означает, что из любых деталей можно составить треугольник.

Карточный фокус

Условие

На одном столе лежат карты, 10 из которых лежат рубашкой вниз. Фокусник с повязкой на глазах подходит к столу, берет несколько карт и перекладывает их на другой стол, при этом, возможно, переворачивая некоторые из них.

Такую операцию разрешается повторять несколько раз (можно брать карты как с первого, так и со второго стола).

Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было одинаковое количество карт, лежащих рубашкой вниз?

Ответ

Переложим на второй стол 10 карт, переворачивая каждую из них. Предположим, что среди этих карт оказалось n лежащих рубашкой вниз и 10-n лежащих рубашкой вверх.

В этом случае после перекладывания на втором столе будет 10-n лежащих рубашкой вниз карт, а на первом столе останется 10-n карт, лежащих рубашкой вниз (было 10 карт, из них n штук переложили).

Таким образом, мы получим то, что требуется в условии головоломки.

Сто сумасшедших художников

Условие

Сто сумасшедших художников последовательно красят часть стены 100 ? 100 клеток в 100 цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться 2 клеток одинакового цвета. Смогут ли 99 сумасшедших художников правильно покрасить стену, если первый художник уже покрасил «свои» 100 клеток?

Ответ

К сожалению, план сумасшедших художников обречен на провал: например, если в первой строке первые 99 клеток покрашены в 99 различных цветов, а последняя клетка второй строки покрашена в сотый цвет.

Хоккейный матч

Условие

Хоккейный матч между командами «Дружба» и «Мир» закончился со счетом 8 : 5.

Докажите, что в матче был такой момент, когда «Дружбе» оставалось забить столько голов, сколько «Мир» уже забил к этому времени.

Ответ

Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.

Пусть n голов забил «Мир», тогда 8-n голов забила «Дружба», что и требовалось доказать.

Шахматные фигуры

Условие

Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 ? 8 (в каждой

клетке не более 1 фигуры) так, чтобы в любых 2 столбцах фигур было поровну, а в любых 2 строках – разное количество?

Ответ

Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары.

В результате в каждом столбце доски 8 ? 8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.

Вредный старик

Условие

При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).