Мартин Гарднер: А ну-ка, догадайся!

В математике, как и в естественных науках, парадоксы не пустая забава. Иногда парадоксы приводят к весьма глубоким открытиям. Так, древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. Этот парадокс, смущавший умы античных мыслителей, привел к расширению понятия числа и созданию теории иррациональных чисел. Математикам XIX в. казалось необычайно парадоксальным, что между всеми элементами бесконечного множества и элементами его бесконечного подмножества можно установить взаимно-однозначное соответствие. Этот парадокс привел к созданию современной теории множеств, в свою очередь оказавшей сильное влияние на философию науки. Парадоксы могут многому научить нас. Подобно хорошим фокусам, они настолько поражают наше воображение, что у нас возникает непреодолимое желание узнать, в чем их секрет. Фокусники предпочитают не раскрывать своих трюков— математикам же таить нечего.

С первой и до последней страницы этой книги я стремился по мере сил простым и доступным языком объяснить (по возможности кратко), чем парадоксален каждый из отобранных мной парадоксов. Тому, кто прочитав эту книгу, захочет узнать о них побольше и обратится к другим книгам и статьям, предоставится возможность не только основательно углубить свои познания в математике, но и получить при этом немалое удовольствие. Список использованной мной литературы приведен в конце книги.

Звездочкой отмечены менее специальные работы.

Ноябрь 1981 г, Мартин Гарднер

Трудно переоценить ту роль, которую логика играет не только в математике, но и всюду, где применяются дедуктивные умозаключения. Каково же было всеобщее удивление, когда выяснилось, что в самой логике в изобилии встречаются, казалось бы, безупречные рассуждения, которые тем не менее приводят к явному противоречию. Использовать такое рассуждение — все равно что сначала доказать равенство 2 + 2 = 4, а потом привести не менее убедительное доказательство неравенства 2 + 2 не равно 4. В каком случае логика «не срабатывает»? Не таятся ли роковые пробелы в самом процессе дедуктивного мышления?

Гигантские успехи современной логики и теории множеств — прямой результат усилий, приложенных к разрешению классических парадоксов. Не один год безуспешно бился над решением такого рода проблем Бертран Рассел , прежде чем в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом написал фундаментальный труд Principia Mathematica («Основания математики»), в котором излагались единые основы современной логики и математики.

Парадоксы не только ставят вопросы, но и отвечают на них.

Среди вопросов, на которые парадоксы дают ответ в этой главе, назовем следующие:

1) Существуют ли ситуации, в которых логически невозможно правильно предсказать будущее событие?

2) Почему в теории множеств обычно запрещается строить множества, которые могут содержать себя в качестве элементов?

3) Почему, когда мы говорим о языке, необходимо проводить различие между языком, о котором мы говорим (нашим объектным языком), и языком, на котором мы говорим (нашим метаязыком)?

Для парадоксов, отвечающих на эти вопросы, характерны косвенные признаки порочного круга в рассуждениях или ссылки на себя. В логике ссылка на себя либо приводит к крушению теории, либо обогащает ее и придает ей особый интерес. Проблема состоит в том, чтобы найти такие формулировки наших теорий, которые допускают их обогащение, но исключают все возможности, приводящие к противоречию. Придумывание парадоксов — верный способ проверки того, насколько правильно установлены пределы применимости наших логических идей.

Не следует думать, будто все парадоксы современной логики разрешены. В действительности дело обстоит далеко не так. Иммануил Кант однажды опрометчиво заметил, будто логика достигла столь полного развития, что о ней невозможно сказать ничего нового. Но логика, известная во времена Канта, составляет лишь незначительную и наиболее элементарную часть современной логики. В ней существуют гораздо более глубокие слои, по поводу которых продолжаются дискуссии между самыми выдающимися логиками современности, слои, в которых парадоксальные вопросы еще не получили ответов и многие вопросы еще предстоит сформулировать.