Яков Перельман - Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения

за 16-й час причитается 32 768

«17-й ««65 536

«18-й ««131 072

«19-й ««262 144

«20-й ««524 288

Все вместе составляет уже больше миллиона орехов! Но сутки не кончены — остается еще 4 часа.

За 21-й час причитается 1 048 576

«22-й ««2 097 152

«23-й ««4 194 304

«24-й ««8 388 608

А если сложить все 24 часа вместе, то составится 16 777 215 — почти 17 миллионов орехов. Это и будет та тысяча тачек, о которой говорил Степка.

Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):

011

000

009

Действительно: 11 + 9 = 20.

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

123 + 4–5 — 67 = 55;

1 — 2–3 — 4 + 56 + 7 = 55;

12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.

Написать число 100 пятью единицами очень просто:

111 — 11 = 100.

5 × 5 × 5 — (5 × 5).

Это равно 100, потому что 125 — 25 = 100.

33 × 3 + = 100

22 + 2 + 2 + 2 = 28.

Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, число 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и иначе:

Будет только один такой год в XX веке: 1961-й.

Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, — это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что первые его две цифры 18.

Легко сообразить теперь, какой это год: 1818-й. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4 1/ 2раза больше, чем 1818:

1818 × 4 1/ 2= 8181.

Других решений задача не имеет.

Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.

Таких чисел сколько угодно:

3 × 1 = 3,

3 + 1 = 4,

10 × 1 = 10,

10 + 1 = 11,

и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно — единица.

Это потому, что от прибавления единицы число увеличивается, а от умножения на единицу остается без перемены.

Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.

1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:

1 + 2 + 3 = 6; 1 × 2 × 3 = 6.

Таких чисел очень много. Например:

2: 1 = 2;

2 × 1 = 2;

7: 1 = 7;

7 × 1 = 7;

43: 1 = 43;

43 × 1 = 43.

Вот еще четыре пары таких чисел:

11 и 110; 14 и 35; 15 и 30; 20 и 20.

В самом деле:

11 × 110 = 1210;

15 × 30 = 450;

11 + 110 = 121;

15 + 30 = 45;

14 × 35 = 490;

20 × 20 = 400;

14 + 35 = 49;

20 + 20 = 40.

Других решений задача не имеет. Довольно хлопотливо разыскивать решения вслепую. Знание начатков алгебры значительно облегчает дело и дает возможность не только отыскать все решения, но и удостовериться, что больше пяти решений задача не имеет.

Рассуждаем так. Цифра 6 получилась от сложения колонки из двух цифр, из которых нижняя может быть либо 0, либо 5. Но если нижняя 0, то верхняя 6. А может ли верхняя цифра быть 6? Пробуем: оказывается, чему бы ни равнялась вторая цифра множителя, никак не получается 6 на предпоследнем месте первого частного произведения. Значит, нижняя цифра предпоследней колонки должна быть 5; тогда над ней стоит 1.

Теперь легко восстановить часть стертых цифр:

Последняя цифра множителя должна быть больше 4, иначе первое частное произведение не будет состоять из четырех цифр. Это не может быть цифра 5 (не получается 1 на предпоследнем мосте). Пробуем 6 — годится. Имеем:

Рассуждая далее подобным же образом, находим, что множитель — 96.