неизвестен Автор - Курс общей астрономии

2OD × ОЕ× cos a = OD2 - AD2 + ОЕ2 - АЕ2 + 2AD × АЕ × cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует: OD2 - AD2 = R2; OE2 - AE2 = R2; AD = R tg b ; АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними. Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b: cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B. Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь: cos b (l - cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B. Заменив (1 - cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим

sin a cos В = sinc cos b - cos c sin b cos A,(1.33)

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой стороне. Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A, sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В. Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A : Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

или

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin2 а, получим Полученное выражение совершенно симметрично относительно a, b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем откуда

(1.34)

или

т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90°; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим sin a cos В = sin с cos b. Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь: ctg B = sin c ctg b или

(1.35)

т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.

§ 29. Параллактический треугольник и преобразование координат

Параллактическим треугольником называется треугольник на небесной сфере, образованный пересечением небесного меридиана, вертикального круга и часового круга светила. Его вершинами являются полюс мира Р, зенит Z и светило М. Если светило М находится в западной половине небесной сферы (рис. 16), то сторона ZP

(дуга небесного меридиана) равна 90° - j , где j - широта места наблюдения; сторона ZM (дуга вертикального круга) равна зенитному расстоянию светила z = 90° - h, где h - высота светила; сторона РМ (дуга часового круга) равна полярному расстоянию светила р = 90° - d , где d - склонение светила; угол PZM = 180° А, где A - азимут светила; угол ZPM = t, т.е. часовому углу светила; угол PMZ = q называется параллактическим углом. Если светило находится в восточной половине небесной сферы (рис. 17), то значения сторон параллактического треугольника те же, что и в случае пребывания светила в западной половине, но значения углов при вершинах Z и Р иные, а именно: угол PZM = А - 180°, а угол ZPM = 360° - t . Вид параллактического треугольника для одного и того же светила зависит от широты места наблюдения j (от взаимного расположения Р и Z) и от момента наблюдения, т.е. от часового угла t. Применяя основные формулы сферической тригонометрии к параллактическому треугольнику (рис. 16) и считая исходными сторону РМ и угол t, получим cos (90° - d ) = cos (90° - j ) cos z + sin (90° - j ) sin z cos (180° - A), sin (90° - d ) sin t = sin z sin (180° - A), sin (90° - d ) cos t = sin (90°- j ) cos z - cos (90° - j ) sin z cos (180° A) или

(1.36)

Формулы (1.36) служат для вычисления склонения светила d и его часового угла t (а затем и прямого восхождения a = s - t) по измеренным (или известным) его зенитному расстоянию z и азимуту A в момент звездного времени s). Иными словами, они служат для перехода от горизонтальных координат светила к его экваториальным координатам. Если исходными считать сторону ZM = z и угол 180° - A, то основные формулы в применении к параллактическому треугольнику напишутся в следующем виде: cos z = cos (90° - j ) cos (90° - d ) + sin (90° - j ) sin (90° - d ) cos t, sin z sin (180° - A) = sin (90° - d ) sin t, sin z cos (180° - A) = sin (90° - j ) cos (90° - d ) - cos (90° - j ) sin (90° - d ) cos t или