Станислав Улам - Приключения математика

Мы с Хокинсом размышляли над следующей связанной с этим задачей: вариация игры «Двадцать вопросов». Один человек задумывает число в интервале от единицы до одного миллиона (который как раз меньше, чем 2 20). Другому человеку позволяется задать до двадцати вопросов, на каждый из которых первый участник должен отвечать только «да» или «нет». Очевидно, что число можно угадать, если сначала спросить: это число в первой половине миллиона? В следующем вопросе опять ополовинить получившийся интервал чисел и так далее. В конечном итоге, число можно угадать менее чем за log 2(1000000) раз. Предположим теперь, что участник имеет право солгать один или два раза. Сколько вопросов потребуется, чтобы получить верный ответ? Ясно, что для того, чтобы угадать одно из 2 n чисел, требуется более n вопросов, поскольку о том, когда была сказана ложь, неизвестно. В общем виде эта задача не решена.

В своей книге о нерешенных задачах я утверждаю, что многие математические теоремы можно «payzise» (греческое слово, слово, которое значит «обыграть»). То есть их можно сформулировать на языке теории игр. Например, достаточно общую схему игры можно представить следующим образом:

Предположим, что N — данное целое число, а два игрока должны осуществить две перестановки N букв ( n 1, n 2,…n N ). Для этого два игрока действуют по очереди следующим образом. При первой перестановке первый игрок забирает букву n 1, второй — n 2, первый — n 3и так далее. В конце концов первая перестановка заканчивается. Затем они разыгрывают вторую перестановку и если две перестановки образуют группу всех перестановок, выигрывает первый игрок, в противном случае выигрывает второй. У кого в этой игре выигрывающая стратегия? Это лишь скромный пример того, как в любой области математики — в данном случае в теории конечных групп — можно придумать «игроподобные» схемы, которые приводят к чисто математическим задачам и теоремам. Можно задавать вопросы и другого рода, например: каковы шансы, если это делается наугад? В этом случае задача объединит в себе и теорию меры, и теорию вероятностей, и комбинаторику. Можно продолжать в таком духе и рассматривать многие области математики.

К концу девятнадцатого века теория множеств совершила переворот в математике. Все началось с того, что Георг Кантор доказал (вернее открыл), что континуум не является счетным множеством. Он не единственный размышлял о логике бесконечности — были еще его предшественники Вейерштрасс и Больцано, однако первое тщательное изучение степеней бесконечности было проведено, конечно, им. Оно возникло из изучения им тригонометрических рядов и, вобрав в себя аромат математики, быстро приняло математическую форму. Дух этой теории в значительной степени проник в математику; недавно она получила новое и технически совершенно неожиданное, обновленное развитие как в самой абстрактной форме, так и в форме непосредственных приложений. Нужно заметить, что формулировки топологии, алгебраических идей в самой общей форме получили импульс и направление от деятельности польской школы, которая в значительной степени была представлена во Львове, где интересы сконцентрировались, грубо говоря, вокруг функционального анализа в геометрическом и математическом смысле.

Можно привести следующее чрезмерно упрощенное описание того, что послужило началом этой деятельности. Начатый Кантором и математиками французской школы — Борелем, Лебегом и другими — этот род исследований прижился в Польше. В своей книге «Блестящие иммигранты» («Illustruous Immigrants») Лаура Ферми восхищенно удивляется тому, сколь многие из работавших в США польских математиков проделали так много важной работы для процветания этой области. Тех, кто приехал сюда, чтобы жить и продолжать эту работу, тоже было немало. Изучение анализа, одновременно проводимое Гильбертом и другими немецкими математиками, привело к появлению простой, общей математической структуры бесконечномерных функциональных пространств, которую впоследствии также развила польская школа. А независимая и одновременная работа Мура, Веблена и других ученых Америки сделала возможной встречу геометрических и алгебраических взглядов и объединение разных направлений математической деятельности, хотя, конечно, только в некоторой степени.

Такое чувство, что, несмотря на растущее разнообразие и даже «сверхспециализацию», выбор предметов для исследований в математике определяется широко распространенными общими течениями, линиями и тенденциями, идущими от независимых источников.