Шамиль Султанов - Омар Хайям

— В основном по книгам Абу Али [22] Ибн Сина. в Нишапуре и позднее, в Самарканде, я несколько раз прочел и почти запомнил его «Канон врачебной науки».

— Послушай, а не мешают ли искусству врачевания твои занятия астрономией, математикой?

— Я не пойму тебя, о повелитель.

— Видишь ли, астрономы изучают движение звезд, планет — и это одно движение; математики занимаются измерением — и это одно измерение. Но каждый человек отличается от другого. Значит, отличаются и их болезни, и горести. Вчера ты готовил лекарство для меня или для больного?

— Для тебя, ибо истинное искусство врача заключается в том, чтобы в больном видеть того, кто ни на кого не похож. Трудно сравнить это с математикой, поскольку там мои измерения может повторить любой опытный математик.

— Омар, я вспоминаю, что несколько лет назад ты закончил какой-то математический трактат. И даже получил от меня какую-то награду, хотя я не очень-то понял, что ты там доказываешь. Продолжаешь ли ты этим заниматься и сейчас?

В середине декабря 1077 года Омар Хайям закончил один из своих важнейших математических трудов — «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида».

«Комментарии» Хайяма разделены на три книги или три части. Во введении он формулирует следующим образом свою общую методологическую задачу: «Изучение наук и постижение с их помощью истинных доказательств необходимо для того, кто добивается спасения и вечного счастья. В особенности это относится к общим понятиям и законам, к которым прибегают для изучения загробной жизни, доказательства (существования) души и ее вечности, постижения качеств, необходимых для существования всевышнего и его величия, ангелов, порядка творения и доказательства пророчества государя (пророков) [23] Пророка Мухаммада. повелениям и запрещениям которого повинуются все творения в соответствии с соизволением всевышнего Аллаха и силой человека». Таким образом Омар Хайям, как действительный последователь Ибн Сины, пытается в рационалистическом духе интерпретировать и мир и положения ислама.

В первой книге «Комментариев» рассматривается теория параллельных. Хайям вообще не сомневается в истинности классического постулата Евклида, однако считает его менее очевидным, чем ряд других евклидовских положений. Кроме того, он отвергает некоторые варианты доказательства.

Один из принципов Аристотеля Хайям принимает за исходный в собственной теории параллельных: «Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения». Каждое из двух утверждений, содержащихся в этом принципе, эквивалентно пятому постулату Евклида.

При помощи нового постулата Омар Хайям доказывает восемь теорем, последняя из которых по формулировке совпадает с пятым постулатом. Центральное место у Хайяма занимает исследование равнобедренного двупрямоугольника (четырехугольника с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами). Равнобедренный двупрямоугольник разделяется своей осью симметрии на два трипрямоугольника. Относительно двух других углов двупрямаугольника, равных между собой, Хайям сначала предполагает, что они острые, затем, что они тупые, и оба допущения приводит к противоречию при помощи своего принципа. После установления существования прямоугольника он довольно просто доказывает пятый постулат.

Работы восточных геометров по теории параллельных, растянувшиеся почти на пятьсот лет и тесно связанные между собой, оказали значительное воздействие на позднейшие исследования. Идеи Хайяма и ат-Туси стали известны в Европе только в XVII веке. Выявленная и обоснованная ими связь пятого постулата Евклида с проблемой суммы углов четырехугольника, или, что равносильно этому, с вопросом о сумме углов треугольника, стала основной в дальнейших работах. Гипотезы и представления математиков Востока о свойствах рассматривавшихся ими четырехугольников в случае острого и тупого угла стали своего рода первыми теоремами неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана (в первой из которых обосновывается гипотеза острого угла для этих четырехугольников, а во второй — гипотеза тупого угла). Работы Омара Хайяма стали одним из важных звеньев в цепи исследований, закончившихся созданием неевклидовой геометрии.