Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Решение.Пятый (последний) не знает, желтый на нем колпак или зеленый, и должен сказать «Не знаю». Четвертый видит перед собой колпаки трех разных цветов и не имеет никаких оснований «предпочесть» для себя один из них. Он тоже должен сказать «Не знаю». А вот третий знает, что колпаки всех трех цветов использованы (так как колпаков двух цветов всего четыре, а мудрецов пять). Но не видит перед собой зеленого колпака. И думает так: «Пятый мудрец, как и я, знал, что зеленый колпак на кого-то надет. Почему он не сказал, что на нем зеленый колпак? Потому что видел его на ком-то другом. Причем не на первом и не на втором. Может быть, зеленый колпак только у четвертого мудреца? Но тогда четвертый мудрец, не видя перед собой ни одного зеленого колпака, догадался бы, что на нем зеленый колпак. Так что про четвертого мудреца не знаю, а вот на мне точно зеленый колпак». Поэтому он скажет «Зеленый».

Второй, аналогично, знает, что желтый колпак на кого-то надет. Более того, он понимает, что это знали и другие мудрецы и думает так: «Почему пятый не сказал, что на нем желтый колпак? Потому что видел его на ком-то другом. Причем не на первом (на первом красный колпак). И не на третьем, который сказал «Зеленый». Может быть, на четвертом? Но если бы четвертый не видел перед собой желтого колпака, он бы догадался, что желтый на нем. Значит, четвертый и пятый видели желтый колпак на мне». Итак, второй угадывает, что на нем желтый колпак.

Аналогично и первый угадывает, что у него красный колпак.

Сценарий.Когда кто-то из детей догадается до решения и расскажет его, можно надеть колпаки на первый взгляд по-другому, а по сути так же: три первых колпака разных цветов, затем два любых разных колпака. Например, желтый, красный, зеленый, зеленый, желтый. Так можно делать, пока все не поймут, почему три первых мудреца могут определить свой цвет, а два последних нет.

После этого можно продолжать поочередно разыгрывать ситуации, меняя артистов и зрителей местами. Если ребят на кружке много, их можно разделить на группы: в каждой по пять мудрецов и хотя бы один человек, надевающий на них колпаки. Пусть каждая группа попробует экспериментально разобраться с пунктом 2. Те, кто справится быстрее, успеют подумать и про пункт 3 и рассказать решение всем. После этого каждой группе предлагается подобрать пример для пункта 4 и для начала проверить его в своей группе, а затем предложить на суд всего кружка. Точно так же, группа, решившая пункт 6, предлагает эту ситуацию другим группам. Придумать подходящий пример легче после решения пункта 5.

2) На мудрецов надеты колпаки в таком порядке: красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан). Что ответят мудрецы?

Решение.Пятый мудрец понимает, что на ком-то есть зеленый колпак. Поскольку перед собой он видит только желтые и красные колпаки, то ответит: «На мне зеленый». Отсюда остальные мудрецы поймут, что пятый видит два желтых и два красных колпака (иначе он сказал бы «Не знаю») и что не использован зеленый колпак. А поскольку цвета остальных колпаков им известны (либо видны, либо верно названы другими мудрецами), то все по очереди верно назовут цвета своих колпаков.

3) Стоявший сзади мудрец верно ответил на вопрос. Докажите, что и остальные смогут определить цвета своих колпаков.

Решение.Как показано в предыдущем пункте, все мудрецы поймут, что спрятан колпак того же цвета, что и колпак, надетый на последнего мудреца. А поскольку цвета остальных колпаков им известны (либо видны, либо верно названы другими мудрецами), то все по очереди верно назовут цвета своих колпаков.

4) Один из мудрецов верно ответил на вопрос. Обязательно ли остальные после этого тоже смогут определить цвета своих колпаков?

Решение.Нет. Пусть, например, на мудрецов надеты красный, желтый, красный, зеленый, зеленый колпаки. Тогда пятый мудрец не сможет понять, зеленый или желтый колпак на нем, и скажет «Не знаю». Четвертый после этого поймет, что на нем не желтый колпак. Но и не красный, поскольку два красных он видит. Поэтому четвертый скажет «Зеленый». Но для третьего желтый и красный цвета останутся равноправны.

5) Докажите, что не менее трех мудрецов правильно определят цвет своего колпака.

Решение.Все мудрецы знают, что хотя бы один из них в желтом колпаке. Если последний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: «На мне желтый колпак». Если он назвал другой цвет или не смог определить цвет своего колпака, то он видит перед собой хотя бы одного мудреца в желтом колпаке. Тогда если предпоследний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: «На мне желтый колпак». Аналогичные рассуждения верны и для следующих мудрецов. Поэтому рано или поздно кто-то скажет, что желтый колпак на нем. Точно так же доказывается, что каждый из трех цветов будет назван хотя бы одним мудрецом.