Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга

Известно, что выполняются следующие четыре условия:

E1: Множество номеров всех доказуемых высказываний - учтенное множество.

E2: Множество номеров всех опровержимых высказываний - учтенное множество.

C: Для любого учтенного множества A множество ~A, состоящее из всех чисел, которые не принадлежат множеству A, - учтенное множество.

H: Для любого учтенного множества A существует другое учтенное множество B, такое, что каждое число из B имеет сопряженное, принадлежащее A, и каждое число, не принадлежащее B, имеет сопряженное, не принадлежащее A.

Этих четырех условий достаточно, чтобы ответить на вопросы логика: "Каждое ли истинное высказывание доказуемо в его системе? Каждое ли ложное высказывание опровержимо в его системе?" Кроме того, можно определить, является ли множество номеров всех истинных высказываний учтенным множеством, а также является ли учтенным множеством множество номеров всех ложных высказываний.

Как это сделать?

Решение. Перед вами не что иное, как гёделев остров из раздела А, но в ином "одеянии". Номера истинных высказываний играют роль рыцарей, номерам ложных высказываний отведена роль лжецов, доказуемые высказывания соответствуют признанным рыцарям, опровержимые - отъявленным лжецам. Учтенные роли заменяют собой клубы.

Понятие множества, записанного на странице с заданным номером, играет роль клуба, названного по имени одного из обитателей острова. Экстраординарные числа - это не что иное, как номинабельные члены общины, а сопряженные числа являются аналогами друзей.

Чтобы решить задачу, прежде всего необходимо доказать аналог условия G.

Условие G. Для любого учтенного множества A найдется высказывание, истинное в том и только в том случае, если его номер принадлежит A.

Чтобы доказать условие G, выберем любое учтенное множество A. Пусть B - множество, заданное условием H, n - номер страницы, на котором записано B в "Книге множеств". По условию H если число n принадлежит B, то у него имеется сопряженное число h, принадлежащее множеству A, а если n не принадлежит B то у него есть сопряженное число h, не принадлежащее A. Мы утверждаем, что высказывание X на h-й странице и есть то самое высказывание, которое требуется найти.

Высказывание X утверждает, что n - экстраординарное число, то есть что n принадлежит множеству B (так как множество B занесено на n-ю страницу "Книги множеств").

Если X истинно, то число n действительно принадлежит множеству B. Следовательно, h принадлежит A. Итак, если X истинно, то его номер (число h) принадлежит множеству A.

Предположим теперь, что X ложно. Тогда число n не принадлежит B. Следовательно, сопряженное число h не принадлежит A. Итак, X истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству A.

После того как условие G доказано, ответить на вопросы логика уже не трудно. Дано, что множество номеров A всех доказуемых высказываний учтенное множество.

Следовательно, по условию C множество ~A всех чисел, не совпадающих с номерами доказуемых высказываний, также учтенное множество. Значит (по условию G), существует высказывание X, которое истинно в том и только в том случае, если его номер принадлежит множеству ~A. Но если номер высказывания X принадлежит множеству ~A, то он не принадлежит множеству A, то есть высказывание X недоказуемо (так как множество A состоит из номеров доказуемых высказываний). Итак, X истинно в том и только в том случае, если X недоказуемо. Это означает, что либо X истинно и недоказуемо, либо X ложно и доказуемо. По условиям задачи ни одно ложное высказывание недоказуемо в системе. Следовательно, X должно быть истинным и недоказуемым в системе.

Построим теперь ложное высказывание, которое неопровержимо в системе. Пусть A - множество всех опровержимых высказываний. Воспользовавшись условием G, мы получим высказывание Y, истинное в том и только в том случае, если его номер совпадает с номером какого-нибудь опровержимого высказывания, то есть Y истинно в том и только в том случае, если Y опровержимо. Это означает, что Y либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Первая альтернатива отпадает, так как опровержимое высказывание не может быть истинным. Следовательно, Y должно быть ложным, но неопровержимым в системе.

Перейдем теперь к остальным вопросам логики. Если бы множество номеров всех ложных высказываний было учтенным множеством, то существовало бы высказывание Z, которое было бы истинным в том и только в том случае, если бы его номер совпадал с номером какого-нибудь ложного высказывания.