Коллектив авторов - Краткий курс по статистике

n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При при k = – средняя гармоническая; при k = 0 – средняя геометрическая; при k = 2 – средняя квадратическая.

При k = 1 формула расчета степенной средней превращается в формулу расчета средней арифметической:

3. Выделяют следующие основные виды средней арифметической величины: средняя арифметическая невзвешенная, средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена; рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности:

Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается, если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности каждым значением осредняемого признака:

Выделяют следующие основные свойства средней арифметической величины:

☞ сумма всех отклонений каждого значения признака от среднего арифметического значения равна нулю:

Если отклонения каждого из вариантов от средней величины суммировать, то получится ноль, что свойственно арифметическим невзвешенным и взвешенным средним значениям;

☞ произведение каждого значения признака на соответствующую ему частоту равно произведению средней величины на сумму частот:

Средняя величина есть результат распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами;

☞ сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонения от любой другой величины:

если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится на это же число;

☞ если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;

☞ от увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;

☞ вследствие предыдущего свойства величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т. е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;

☞ средняя арифметическая совокупности, состоящей из постоянных величин, равна этой постоянной:

4. Приведем также формулы расчета средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической и средней степенной величин.

Формула расчета степенной средней:

где x i – величины, для которых исчисляется средняя;

– средняя, где имеет место осреднение индивидуальных значений;

n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При к = формула превращается в формулу расчета средней гармонической.

Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака: