Владимир Левшин - Черная маска из Аль-Джебры

Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.

Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:

— К возведению в степень приготовиться!

Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!

Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу.

Возле таблички -i снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.

Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.

— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?

— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √-1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?

— Подкоренное число, — ответил Олег.

— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.

— То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i 2= i × i = (√-1) 2= -1.

— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?

— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i 3= i 2× i.

А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: -1 × i = -i.

— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i 4= i 2× i 2

А это можно представить себе и так: -1 × -1 = +1.

— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.

В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.

— Не может быть! i 5равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?

— Да ничего особенного: i 4= 1. Чтобы получить i 5, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 × i = i.

— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? — удивился Олег.

— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!

Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i 17?

— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…

— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i 13равно i, значит, i 17тоже равно i.

Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i 24? А чтобы вам легче было, загляните в чертеж мнимой карусели.

Долго еще любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:

— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!

— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.

— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i, три i, четыре i?

— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же все сразу…

— Всякому овощу свое время? — подмигнул Сева.