Стивен Прата - Язык программирования C. Лекции и упражнения (6-е изд.) 2015

• e представляет целочисленную экспоненту. (Ее не следует путать с числовой константой е, используемой в качестве основания для натуральных логарифмов.) Экспонента будет ограничена диапазоном, имеющим минимальное и максимальное значение. Эти значения будут зависеть от количества битов, выделенных для хранения экспоненты.

• f kпредставляет возможные цифры для основания системы счисления б, например, при основании 2 возможными цифрами являются 0 и 1, а при основании 16 — цифры из диапазона от 0 до F.

• р — это точность, т.е. количество цифр по основаниюb, применяемых для представления значащей части числа. Значение р будет ограничено количеством битов, выделенных для хранения значащей части числа.

Понимание этого представления является ключом к пониманию содержимого float.h и fenv.h, поэтому давайте ознакомимся с двумя примерами, иллюстрирующими работу представления плавающей запятой.

Прежде всего, предположим, что основанием системы счисления б является 10, а точность р составляет 5. Тогда значение 24,51 можно было бы записать следующим образом:

(+1)10^(2/10 + 4/100 + 5/1000 + 1/10000 + 0/100000)

Полагая, что компьютер способен хранить десятичные цифры, он мог бы сохранить знак, экспоненту 3, а также пять значений f k— 2, 4, 5, 1 и 0. (Здесь f 1— это 2, f 2- 4 и т.д.) Таким образом, значащей частью является 0.24510. Умножение ее на 10 3дает 24.51.

Далее предположим, как более распространенную ситуацию, что основание системы счисления b представляет собой 2. Пусть р равно 7, экспонента равна 5, а значащая часть числа хранится как 1011001, используя 7 двоичных цифр, как описано посредством р. Будем считать, что знак числа положителен.

Справочные материалы 905

Тогда согласно формуле мы можем построить число так:

х= (+1 )2 5( 1/2 +0/4 + 1/8 + 1/16 + 0/32 + 0/64 + 1/128)

= 32( 1/2 +0/4 + 1/8 + 1/16 + 0/32 + 0/64 + 1/128)

= 16 + 0 + 4 + 2 +0 + 0 + 1/4 = 22.25

Многие макросы из float.h имеют отношение к этому представлению. Например, для значения типа float макрос FLT_RADIX — это b, т.е. применяемое основание системы счисления, a FLT_MANT_DIG — это р, т.е. количество цифр (по основанию b) в значащей части числа.

Нормальные и субнормальные значения

Концепция нормалшованного значения с плавающей запятой играет важную роль, поэтому давайте изучим ее. Для простоты предположим, что основанием системы счисления является 10 (b = FLT_RADIX = 10), а в значащей части числа используется 5 десятичных цифр для значения типа float (р = FLT_MANT_DIG = 5). (Стандарт требует более высокой точности, чем эта, но желание упростить изучение позволяет нам проигнорировать данное требование.) Взгляните на следующие способы представления значения 31.841:

экспонента = 3, значащая часть = .31841 (.31841E3) экспонента = 4, значащая часть = .03184 (.03184Е4) экспонента = 5, значащая часть = .00318 (.00318Е5)

Очевидно, что первый метод будет наиболее точным, поскольку в значащей части присутствуют все пять доступных цифр. Нормализованное ненулевое значение с плавающей запятой — это такое значение, в котором первая цифра в значащей части отличается от нуля, и именно так обычно хранятся значения с плавающей запятой.

Теперь предположим, что минимальная экспонента (FLT_MIN_EXP) установлена в -10. Тогда наименьшее нормализованное значение таково:

экспонента = -10, значащая часть = .10000 (.10000Е-10)

Обычно умножение или деление на 10 означает увеличение или уменьшение экспоненты, но в этом случае деление не может дополнительно уменьшить экспоненту. Однако можно изменить значащую часть, чтобы получить следующее представление:

экспонента = -10, значащая часть = 0.0100 (.01000Е-10)

Такое число будет называться субнормальным, потому что оно не использует полную точность значащей части. Например, деление 0.12343Е-10 на 10 дает .01234Е-10, и одна цифра теряется.

В данном примере 0.1000Е-10 является наименьшим ненулевым нормальным представлением (FLT_MIN), а наименьшим ненулевым субнормальным значением будет 0.00001Е-10 (FLT_TRUE_MIN).

Макросы FLT_HAS_SUBNORM, DBL_HAS_SUBNORM и LDBL_HAS_SUBNORM из float.h характеризуют, каким образом реализация обрабатывает субнормальные значения. Ниже перечислены возможные значения для этих макросов и объяснен их смысл:

-1 неопределимо (непротиворечивой интерпретации не существует)

0 отсутствует (реализация могла бы, например, заменять субнормальные значения нулем)

1 присутствует

906 Приложение Б

Библиотека math.h предлагает средства, в том числе макросы fpclassifyt) и isnormal(), которые позволяют идентифицировать, когда программа генерирует субнормальные значения, таким образом, теряя точность.

Схемы оценки