БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ДЛ)

Длина',числовая характеристика протяжённости линий. В разных случаях понятие Д. определяется различно. 1) Д. отрезка прямой — расстояние между его концами, измеренное каким-либо отрезком, принятым за единицу Д. 2) Д. ломаной — сумма Д. её звеньев. 3) Д. простой дуги — предел Д. вписанных в эту дугу ломаных, когда число звеньев неограниченно увеличивается и максимальная Д. звеньев стремится к нулю. 4) Д. непрерывной кривой, состоящей из конечного числа простых дуг, равна сумме Д. этих дуг. Например, Д. окружности может быть получена как предел периметров правильных вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон и равна 2p R , где R — радиус окружности. Всякая непрерывная кривая имеет Д. — конечную или бесконечную. Если её Д. конечна, то кривая называется спрямляемой. График функции (см. рис. )

даёт пример неспрямляемой кривой; здесь Д. вписанных ломаных неограниченно растут, когда Д. звеньев стремятся к нулю. Если уравнение плоской кривой в прямоугольных координатах имеет вид у = f ( x ) ( a £ x £ b ), причём функция f ( x ) имеет непрерывную производную f ¢ ( x ), то Д. кривой выражается интегралом

Аналогично выражается Д. кривой, заданной параметрически, и Д. пространственной кривой.

К вычислению Д. кривой при помощи предельного перехода из Д. ломаных прибегали по существу ещё математики древности. Для них, однако, этот предельный переход был лишь способом вычисления Д. кривой, а не определения понятия Д. кривой, т.к. последнее им представлялось, по-видимому, одним из первоначальных математических понятий. Необходимость определения Д. кривой стала ясной лишь в 1-й половине 19 в. Полное выяснение вопроса было достигнуто К. Жорданом . В дифференциальной геометрии определяется также Д. кривой на поверхности или в произвольном римановом пространстве. О единицах и технике измерения Д. см. Меры длины , Измерение .

Лит.: Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.

С. Б. Стечкин.

Рис. к ст. Длина.

Длина' волны',расстояние между двумя ближайшими точками волны , находящимися в одинаковой фазе колебания. Д. в. l связана с периодом колебания Т и скоростью с распространения волны соотношением l = сТ .

Длина' свобо'дного пробе'га(точнее — средняя длина свободного пробега, ` l ), средняя длина пути, проходимого частицей между двумя последовательными соударениями с др. частицами. Понятием Д. с. п. широко пользуются при расчётах различных процессов переноса, например вязкости, теплопроводности, диффузии, электропроводности и др.

Согласно кинетической теории газов, молекулы от столкновения до столкновения движутся равномерно и прямолинейно. Если за 1 сек молекула проходит в среднем путь v , испытывая при этом n упругих соударений с такими же молекулами, то

где n — число молекул в единице объёма (плотность газа), s — эффективное поперечное сечение молекулы. С повышением плотности газа (его давления) Д. с. п. уменьшается, т.к. растет число столкновений n в 1 сек . Повышение температуры (интенсивности движения молекул) приводит к некоторому уменьшению s и, следовательно, к росту ` l . Для обычных молекулярных газов в нормальных условиях (при атмосферном давлении и 20°С) ` l ~ 10 -5 см , что примерно в 100 раз больше среднего расстояния между молекулами.

К частицам, движение и взаимодействие которых подчиняется законам квантовой механики , понятие Д. с. п. в ряде случаев также применимо (например, электроны проводимости в твёрдом теле, нейтроны в слабо поглощающих средах, фотоны в звёздах), но расчёт Д. с. п. для таких частиц более сложен.