БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ОШ)

d 1= x 1— a,…, d n= x n— a

называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все d i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d 1 ,..., d n . Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Ed 1 =.. .= Еd n называется систематической ошибкой, а разности d 1 — b,..., d n — b — случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0 , и в этой ситуации d 1 ,..., d n суть случайные ошибки. Величину , где а — квадратичное отклонение , называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений

,

а разности D 1= x 1 — ,..., D n= x n— называются кажущимися ошибками. Выбор в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон ); оценка лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть

D = E ( — а ) 2 = s 2/n.

Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки d i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией s 2 /n. Если распределения d i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы , не меньше D . Если же распределение d i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия s 2 отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной

(E s 2= s 2, т. е. s 2— несмещенная оценка для s 2 ), если случайные ошибки d i имеют нормальное распределение, то отношение

подчиняется Стьюдента распределению с n — 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а » (см. Наименьших квадратов метод ).

Величина ( n — 1 ) s 2/ s 2 при тех же предположениях имеет распределение c 2(см. «Хи-квадрат» распределение ) с n — 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s » s. Можно показать, что относительная погрешность | s — s | Is не будет превышать числа q с вероятностью

w = F ( z 2, n — 1 ) — F ( z 1, n — 1 ) ,

где F ( z, n — 1 ) — функция распределения c 2,

, .