Франклин Меррелл-Вольф: Математика, Философия и Йога

Это крошечный проблеск чего-то Запредельного. Заглядывая в эти глубины, относительное сознание может сначала счесть их тьмой, безмолвием и пустотой. Однако при смещении на их собственный уровень, при переходе к иному способу постижения они воспринимаются как необычайно яркий свет, как полнота и вершина содержательности – как внутренняя сущность звучания. По существу, это происходит и сейчас…

Помнится, я сказал, что мы перейдем к вопросу определений. Давайте переключаться. Что такое математика вообще? Название моих лекций: «Математика, философия и йога». Такое сочетание тематик имеет свои причины. Это тот путь, которым я шел, и потому я лучше всего знаком именно с ним. Если вы обратитесь к различным справочникам, как сделал я, то найдете в них множество разнообразных определений того, что понимается под математикой. Я нашел одно из них в «Сэнчери Дикшнэри», где математика определяется как «наука о количестве» [16]. Кажется, такое представление очень широко распространено, но оно остается чрезвычайно далеким от истины. В математике есть много областей, не имеющих ничего общего с количественными отношениями – например, алгебра логики, творение великого ирландского ученого Буля, которого Рассел назвал первым чистым математиком. Алгебра логики не связана с количеством, она рассматривает классы, множества, взаимоотношения между ними и прочие подобные вопросы.

Другим примером направления, никак не связанного с вычислениями, – кстати, очень красивым направлением, – является проективная геометрия. Думаю, пример из этой области покажется вам занятным. В проективной геометрии вообще не рассматриваются метрические свойства, в ней не используются измерения. Понятие меры является основополагающим во всем, что касается количества, но проективная геометрия занимается описательными свойствами. Начертим две произвольные прямые и назовем их L и L’ (см. рис. 8).

Рис.8

Выберем на каждой прямой по три произвольных точки. Обозначим точки на прямой L буквами А, В и С, а точки на прямой L' -А', В' и С’. Теперь соединим отрезком точки Аи В', а также пару А' и В. Отметим место пересечения этих отрезков. После этого построим отрезки, соединяющие пары точек В и С', С и В', С и А' и, наконец, С' и А. Помните, что прямые и все точки были выбраны совершенно произвольно, мы не прибегали к каким-либо измерениям. Кроме того, прямые вообще бесконечны. В проективной геометрии все прямые имеют бесконечную длину, так как операции с ними не связаны с измерениями. Длины и углы не имеют никакого значения. Эта теорема (первым ее доказал Паскаль [17], и она является частным случаем более общей теоремы о конических сечениях) заключается в том, что три полученные точки пересечения построенных отрезков лежат на одной прямой. Математику такой результат кажется очень красивым -и не потому, что его можно увидеть воочию, а по той причине, что он оказывается полной неожиданностью. Вся изюминка в том, что это справедливо для любых, самых произвольных прямых. Точки также выбираются произвольным образом – вы можете поместить их куда пожелаете. Вы просто чертите прямые L и L', проводите три соединяющих их отрезка – и обнаруживаете, что полученные точки пересечения находятся на одной прямой. Если вы ощутили это, то получили определенное представление о той красоте, которую ценят математики. Это умозрительная красота. Она заключается в том, что между элементами, которые казались независимыми, разрозненными, внезапно возникает некое единство. Подобные переживания случаются часто, но обычно осознаются только при высоком уровне сосредоточенности, способном вызывать экстатическое состояние.

Более полное и точное определение математики приводится в «Словаре философии и психологии» Болдуина. Там сказано, что «математика представляет собой науку об абстрактных отношениях» [18]. В своей статье для девятой редакции «Британской энциклопедии» Уильямсон говорит, что «любая концепция, полностью описываемая конечным набором определений, является математическим понятием» [19]. Кроме того, Рассел сказал, что чистая математика представляет собой класс всех утверждений в форме «р влечет q», где р и q являются утверждениями, содержащими один и тот же набор переменных и не включающими в себя никаких постоянных, кроме логических констант.

Вернемся к неметрическим областям математики. Помимо алгебры логики и проективной геометрии, существует топология, которую иногда называют «геометрией на резиновой плоскости». Это чрезвычайно важное направление. Топология изучает те отношения, которые остаются неизменными при любых деформациях пространства. Скажем, плоскость можно растянуть таким образом, чтобы квадрат превратился в круг, а эллипс – в любую другую фигуру. Что же останется неизменным? Связность отдельных частей. Подобные опыты приводят ко множеству занятных построений – например, к созданию односторонней поверхности -ленты Мебиуса (см. рис. 9).