Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

То же с номерами второго типа:

Так как один номер относится либо к первому, либо ко второму типу (и не повторяется), согласно правилу суммы общее количество возможных комбинаций – 24 336 000.

Но подобного рода подсчеты (математики даже выделяют такие упражнения в отдельную ветвь своей науки – комбинаторику ) не приносили бы столько удовольствия, если бы не многообразие способов, которыми можно достичь желаемого (мы уже успели в этом убедиться, когда говорили об устном счете). Оказывается, то же количество автомобильных номеров можно посчитать за один шаг:

ведь для первых двух символов каждого номера существует 26 вариантов, для последних трех – 10, при этом третий символ может быть или буквой, или цифрой, а значит, возможных вариантов здесь будет 26 + 10 = 36.

В этом разделе мы используем то, что только что узнали, для подсчета своих шансов выиграть в лотерею или собрать нужную комбинацию в покере. Но позвольте сначала предложить вам немного мороженого.

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя – их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке , если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно – в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

Другой способ представить 10 × 9 × 8 – 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек – Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом и равняется 120. Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n , из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k » и подсчитывается по формуле

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями , а числа вида – биноминальными коэффициентами . Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр, хотя по сути это не комбинации, а перестановки, ведь порядок чисел, составляющих код, имеет большое, если не решающее, значение.

Если ваш продавец мороженого предлагает 20 разных сортов, то, направляясь туда с намерением купить 5 разных шариков (в случайном порядке), вам придется выбирать из

вариантов. Кстати, если на вашем калькуляторе не предусмотрено специальной кнопки, чтобы подсчитать просто наберите в любом поисковике «число сочетаний из 20 по 5» [8], и вы увидите веб-калькулятор с готовым ответом.

Биноминальные коэффициенты, впрочем, могут появляться и там, где порядок расположения объектов определенную роль все же играет. Если вы 10 раз подбросите монетку, сколько всего у вас будет возможных последовательностей результатов (вроде О-Р-О-Р-Р-О-О-Р-Р-Р или О-О-О-О-О-О-О-О-О-О)? Так как каждый бросок имеет два возможных исхода, правило произведения говорит нам, что их будет 210 = 1024, причем шансы выпадения каждой стороны абсолютно равны. (Некоторые, конечно, удивятся: вероятность того, что выпадет вторая комбинация, вроде бы куда ниже, чем у первой. Тем не менее шансы и у той, и у другой абсолютно равные – 1 к 1024.) С другой стороны, то, что за 10 бросков орел выпадет 4 раза, а не 10, куда вероятнее, ведь комбинаций с 4 орлами много, а с 10 – всего одна. Вот только «много» – это сколько? Подобная последовательность определяется количеством «орлиных» бросков, равным 4 из 10, соответственно, остальные броски должны закончиться выпадением решки. Количество способов определить, какие именно 4 из 10 бросков дадут нам орла, равно (все равно что выбирать 4 разных шарика мороженого из 10 сортов). Значит, наш шанс, что из 10 попыток 4 раза выпадет орел, если бросать симметричную, абсолютно уравновешенную монетку, равен