Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Было бы справедливо послушать самого Канта, прежде чем переходить к опровержениям. Достаточно и нескольких выдержек. Он начал с объяснения: «Я вспоминаю все доклады, где нет ни слова объяснения восприятию понятия «чистая». Чистая форма всех чувственных интуиций, та форма, в которой просматриваются несколько элементов этого феномена, выстроенных в определенном порядке, априори должна быть найдена в разуме. И эта чистая форма чувственности может быть названа чистой интуицией». После ряда дальнейших толкований определений Кант декларирует: «В ходе данного исследования станет ясно, что существуют две чистые формы чувственной интуиции как принципов априорного знания, Пространство и Время. Что такое, – спрашивает он дальше, – Пространство и Время? Они реальны? А если нет, они формы или отношения вещей, но такие, какие присущи им, даже если они перестанут восприниматься? Или они есть формы или отношения, присущие исключительно форме интуиции и, следовательно, субъективной реальности нашего разума, без которых такие понятия, как пространство и время, никогда не получится отнести к чему-либо?»

Прежде чем услышать ответы Канта на данные вопросы, обратимся за двумя разъяснениями к словарю. «Кант… считал, что априорное знание состоит из конкретных «допущений» (как пространство и время) и принципов понимания, которые предположительно необходимы, чтобы опыт в целом стал интеллигибельным (постижимым умом)». Это устанавливает постоянно циркулирующую a priori, к которой обращается Кант. Другое техническое слово «аподиктический», которое означает «вовлекающий или выражающий неопровержимую истину, абсолютно верную, а также способную быть продемонстрированной ясно и удобно». Считая, что эти смысловые определения ясны (хотя едва ли такие четкие, как те, что приняты в элементарной геометрии, к которой адресует их Кант), постараемся понять, что же он хотел сказать. Ниже мы приводим изложенные Кантом выводы в четырех обобщенных предположениях, из которых нам необходимо взять только основное.

1. «Пространство не есть эмпирическое понятие, которое появляется из опыта… Образно пространство не может быть взято через опыт из отношений внешнего феномена, но, напротив, внешний феномен становится возможным только через представление о пространстве».

2. «Пространство есть априорное необходимое представление, фомирующее каждое обоснование всех внешних интуиций… Пространство, таким образом… есть условие возможности феномена, а не… форма созданного ими. Это априорное представление, которое необходимо предвосхищает внешний феномен».

Поскольку следующий текст достаточно сложен и ложен в деталях в свете современного знания, то приведем его полностью.

3. «По этой необходимости априорного представления пространство противостоит аподиктической несомненности всех геометрических принципов и возможности их априорного создания. Если интуиция пространства стала концепцией, полученной апостериори (a posteriori), только из общего внешнего опыта, первые принципы математических дефиниций становятся не чем иным, как перцепциями. Они будут распространены на все издержки перцепций, и, например, существование только одной прямой линии между двумя точками станет не необходимостью, а только чем-то полученным из опыта в каждом конкретном случае. Что бы ни было получено из опыта, оно будет обладать только соответствующей обобщенностью, основанной на умозаключении. Таким образом, мы не сможем сказать больше, поскольку до настоящего времени никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного».

Мы еще вернемся к некоторым положениям. Четвертый и последний вывод Канта мало что добавляет к первым трем.

4. «Пространство есть… чистая интуиция… Интуиция, которая априори не основана на опыте, должна сформировать обоснование всех концепций пространства. Тем же путем все геометрические принципы (например, «любые две стороны треугольника вместе больше третьей стороны») никогда не могли быть получены из общей концепции стороны или треугольника, но формируют интуицию, и это априорно с аподиктической верностью».

Это (по Канту) восприятие пространства и геометрии, с его априорными интуициями и его аподиктическими истинами, длительное время воспринималось как окончательное среди многочисленных метафизиков. Кант сформулировал похожую доктрину чисел и арифметики. Обе не заслуживают внимания в данной работе, поскольку не имеют ничего общего с математическим фактом. Его априорное «время» пошло путем его геометрии и арифметики, не потому, что конфликтовало с математикой, которая не связана с рассуждениями на тему природы времени, а потому, что оно опровергается современной экспериментальной и теоретической физикой. Здесь остановимся только на том, что имеет отношение к геометрии Канта.