Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Например:

4/6 = 4/6 ÷ 2/2 = 2/3

25/35 = 25/35 ÷ 5/5 = 5/7

Это сокращение дроби.

УПРАЖНЕНИЕ: СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

Найдите дробь со знаменателем 12, равную дробям, представленным ниже.

1. 1/32. 5/63. 3/44. 5/2

Сокращение дробей.

5. 8/106. 6/157. 24/368. 20/36

Сложение дробей

Это действие можно считать простым, когда знаменатели равны. В этом случае складываются числители и сохраняется прежний знаменатель.

Например:

3/5 + 1/5 = 4/5; 4/7 + 2/7 = 6/7

Иногда можно упростить ответ. Например:

1/8 + 5/8 = 6/8 = 3/4

УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С РАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)

1. 2/9 + 5/9

2. 5/12 + 4/12

3. 5/18 + 6/18

4. 3/10 + 3/10

Более коварный случай — различные знаменатели. Когда знаменатели не равны, нужно заменить исходные дроби дробями с равными знаменателями.

Например, сложите

1/3 + 2/15

Заметим, что

1/3 = 5/15

Поэтому

1/3 + 2/15 = 5/15 + 2/15 = 7/15

При сложении

1/2 + 7/8

Замечаем, что

1/2 = 4/8

Тогда

1/2 + 7/8 = 4/8 + 7/8 =11/8

При сложении

1/3 + 2/5

Видим, что

1/3 = 5/15 и 2/5 = 6/15

В итоге

1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15

УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С НЕРАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)

1. 1 /5 + 1/102. 1/6 + 5/183. 1/3 + 1/5

4. 2/7 + 5/215. 2/3 + 3/46. 3/7 + 3/57. 2/11 + 5/9

Вычитание дробей

Вычитание дробей похоже на их сложение. Мы покажем это действие на примерах и обеспечим вас тренировочными упражнениями.

2/5 — 2/5 = 1/5; 4/7 — 2/7 = 2/7; 5/8 — 1/8 = 4/8 = 1/2

1/3 /2/15 = 5/15 — 2/15 = 3/15 = 1/5

7/8 — 1/2 = 7/8 — 4/8 = 3/8

1/2 — 7/8 = 4/8 — 7/8 = -3/8; 2/7 — 1/4 = 8/28 — 7/28 = 1/28

2/3 — 5/8 = 16/24 — 15/24 = 1/24

УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ

1. 8/11 — 3/11 2. 12/7 — 8/73. 13/18 — 5/18

4. 4/5 — 1/155. 9/10 — 3/56. 3/4 — 2/3

7. 7/8 — 1/168. 4/7 — 2/59. 8/9 — 1/2

До сих пор вы совершенствовали ментальные техники, необходимые для получения точных ответов в математических задачах. Однако часто бывает достаточно приблизительной оценки решения. Скажем, вы получаете расценки различных кредиторов рефинансирования кредита за ваш дом. Все, что вам действительно понадобится на данном этапе сбора информации, — это приблизительно оценить размер ежемесячного платежа. Или, скажем, вы оплачиваете счет в ресторане вместе с компанией друзей и не хотите вычислять в нем долю каждого до последней копейки. Методы приближенной оценки, описанные в данной главе, сделают обе эти задачи (и многие другие аналогичные) вполне решаемыми. Сложение, вычитание, деление и умножение — все поддается приближенной оценке. Как обычно, мы будем выполнять расчеты слева направо.

Приближенная оценка — хороший способ облегчить себе жизнь, когда при решении задачи список чисел для запоминания становится слишком длинным. Трюк сводится к округлению исходных чисел в бóльшую или меньшую сторону.

* * *

Джордж Биддер: инженер «калькулятор»

У англичан тоже была своя когорта мастеров молниеносных вычислений. Например, устные выступления Джорджа Биддера (1806–1878), уроженца Девоншира, производили на зрителей неизгладимое впечатление. Как и большинство математических талантов, Биддер увлекся арифметическими задачами, еще будучи мальчишкой, и учился счету, сложению, вычитанию, умножению и делению в процессе игры с мраморными шариками. На гастроли со своим отцом юный Биддер отправился в возрасте девяти лет.

Почти ни один из задаваемых вопросов не был для него сложным. «Если Луна находится на расстоянии 123 256 миль от Земли, а звук движется со скоростью четыре мили в минуту, сколько времени понадобится звуку для путешествия с Земли на Луну?» Молодой Биддер, сморщив ненадолго в раздумье лоб, выпалил: «Двадцать один день, девять часов, тридцать четыре минуты». (Сегодня-то мы знаем, что это расстояние чуть ближе к 240 000 милям, а звук не может перемещаться через вакуум.) В десять лет Биддер мысленно извлек квадратный корень из 119 550 66 121, получив ответ 345 761 всего за 30 секунд. В 1818 году Биддер и молниеносный вычислитель из США Зера Колберн сошлись в ментальной счетной дуэли, в которой Биддер, по-видимому, «численно» превзошел Колберна.