Стивен Вайнберг - Мечты об окончательной теории - Физика в поисках самых фундаментальных законов природы

Строго говоря, вероятности различных конфигураций определяются суммой квадратов действительной и мнимой частей значений волновой функции.

В реальном мире частицы, естественно, не ограничены только двумя положениями, однако существуют физические системы, которые для практических целей можно рассматривать как имеющие только две конфигурации. Реальный пример такой системы с двумя состояниями – спин электрона. (Спин или момент импульса любой системы есть мера того, насколько быстро она вращается, насколько она массивна и насколько далеко от оси вращения находится масса. Принимается, что спин направлен вдоль оси вращения.) В классической механике спин гироскопа или планеты может иметь любые величину и направление. Напротив, в квантовой механике при измерении величины спина электрона относительно любого направления, например на север (обычно с помощью измерения энергии взаимодействия спина с магнитным полем в данном направлении), мы можем получить только один из двух результатов: электрон вращается вокруг этого направления либо по часовой стрелке, либо против нее, но величина спина всегда одна и та же и равна постоянной Планка, деленной на 4π.

Сумма этих двух вероятностей должна равняться единице (т.е. 100 %), так что сумма квадратов значений здесь и там должна равняться единице. Отсюда вытекает очень полезная геометрическая картина. Нарисуем прямоугольный треугольник, горизонтальная сторона которого имеет длину, равную величине здесь волновой функции, а вертикальная сторона – длину, равную величине там . (Конечно, под горизонтальным и вертикальным направлениями я подразумеваю любые два взаимно перпендикулярных направления. С тем же успехом можно говорить о направлениях вдоль и поперек.) Не обязательно нужно быть генералом современной армии, чтобы знать один забавный факт о квадрате гипотенузы этого треугольника: она равна сумме квадратов вертикальной и горизонтальной сторон. Но, как мы только что заметили, эта сумма равна единице, поэтому длина гипотенузы тоже равна единице. (Под единицей я подразумеваю не 1 метр или 1 фут, а число 1, так как вероятности не измеряются в квадратных метрах или квадратных футах.) Обратно, если нам дана стрелка единичной длины, имеющая определенное направление в двумерном пространстве (иными словами, двумерный единичный вектор), то ее проекции на горизонтальное и вертикальное направления или на любую другую пару взаимно перпендикулярных направлений задает пару чисел, квадраты которых в сумме равны единице. Таким образом, вместо того, чтобы задавать значения здесь и там , можно представлять состояние стрелкой (гипотенузой нашего треугольника) единичной длины, проекция которой на любое направление представляет значение волновой функции для той конфигурации системы, которая соответствует этому направлению. Такая стрелка называется вектором состояния . Дирак развил довольно абстрактную формулировку квантовой механики на языке векторов состояний, преимущества которой перед формулировкой на языке волновых функций заключаются в том, что можно говорить о векторах состояний без ссылок на конкретные конфигурации системы.

Конечно, большинство динамических систем более сложны, чем наша мифическая частица. Например, рассмотрим две такие частицы. Тогда возможны четыре конфигурации, в которых частицы 1 и 2 находятся в состояниях: здесь и здесь , здесь и там , там и здесь , там и там . Таким образом, волновая функция состояния двух частиц принимает четыре значения, и для описания эволюции этого состояния во времени требуется задать шестнадцать постоянных чисел. Заметим, что имеется ровно одна волновая функция, описывающая объединенное состояние двух частиц. Это же верно и в общем случае: нам не нужно иметь отдельные волновые функции для каждого электрона или другой частицы, а лишь одну общую волновую функцию системы, сколько бы частиц она не содержала.

Утверждая, что эти состояния имеют определенный импульс, я говорю неточно. При двух возможных положениях состояние иди максимально близко к состоянию ровной волны с горбом здесь и впадиной там , отвечающей частице с ненулевым импульсом, а состояние стой похоже на плоскую волну, длина волны которой много больше, чем расстояние между здесь и там , и соответствует состоянию покоя частицы. Это примитивная версия того, что математики называют фурье-анализом. (Строго говоря, мы должны записать значения стой и иди волновой функции как сумму или разность значений здесь или там , деленных на корень из двух, для того, чтобы удовлетворить упомянутому в предыдущем примечании условию, что сумма квадратов двух значений должна равняться единице.)