Хаим Шапира - Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

В этом контексте я хотел бы упомянуть две из моих любимых книг. Первая – «Математик за газетой» [23] Paulos John Allen . A Mathematician Reads the Newspaper: Making Sense of the Numbers in the Headlines. Penguin, London, 1996; Basic Civitas Books, 2013; Darrell Huff . How to Lie with Statistics, revised edition, Penguin, London, 1991. , в которой Джон Аллен Паулос объясняет, почему он (математик) читает новостные сводки совершенно иначе, нежели среднестатистический (медианный) человек. Вторая – чудесная книга Даррела Хафа «Как лгать при помощи статистики» [24] Выходила на русском языке в изд-ве «Альпина Паблишер» в 2015 г. – Примеч. ред. . Я часто обращаюсь к ней, когда начинаю проводить уроки по статистике: она помогает студентам не так сильно ненавидеть предмет.

В этой главе мы выясним, что именно подразумеваем, говоря о шансах, побросаем монетки и кубики, обсудим значение вероятности на операционных столах, поможем врачам не ставить неверные диагнозы и попытаемся пройти проверку на детекторе лжи – так, чтобы наша ложь осталась незаметной.

На первый взгляд кажется, что концепция «шансов», или «вероятностей», довольно проста. Мы и впрямь довольно часто говорим что-нибудь вроде: «Завтра, вероятно, будет снег», «Шанс на то, что я займусь спортом в ближайшие 45 лет, весьма невелик», «Вероятность выкинуть шестерку при броске кубика – один к шести», «Вероятность того, что будущим летом начнется война, только что удвоилась» или «После такого он, наверное, никогда не восстановится». И все же стоит только приступить к изучению концепции – и все оказывается намного более запутанным и сложным.

Начнем с простейшего примера: подбрасывания монеты. На вопрос о том, какова вероятность выпадения орла при броске монеты, любой, само собой, ответит, что орлы выпадут примерно в половине бросков. Возможно, это правильный ответ, но путаница возникает сразу же после того, как мы спросим: «Почему вы сказали “половина”? На каком знании основан этот ответ?»

Когда я провожу семинар или лекцию по теории вероятностей, слушатели всегда дают один и тот же ответ: «Есть только два варианта: орел или решка. Значит, шансы – 50 на 50, или половина случаев при каждом подбрасывании». Здесь я снова усложняю им жизнь и предлагаю другой пример. Поскольку мы говорим о вероятностях, Элвис Пресли может войти к нам в аудиторию и спеть Love Me Tender – или не может. Опять же, здесь два варианта – но я бы не сказал, что шансы составляют 50 на 50. Можно подумать и о других вещах, не столь очаровательных. Прямо сейчас, пока я пишу эти строки, потолок над моей головой может обрушиться и упасть – но, опять же, может и не упасть. Если бы я считал, что шансы любого исхода – 50 на 50, я бы выбежал из комнаты сломя голову, хотя мне и нравится писать. Или еще пример: моему другу удалили миндалины. У нас снова два варианта: либо он переживет операцию, либо нет. Все его друзья надеялись на счастливый финал и были почти уверены в том, что в этом случае шансы на благополучный исход гораздо выше, чем 50 %.

Мы могли бы привести немало примеров, но принцип ясен: даже когда вариантов исхода только два, шансы необязательно составят 50 на 50. Даже если эта идея генетически впечатана в наш разум, тесная связь двух вариантов и шансов 50 на 50 почти всегда оказывается неверной.

Так почему же тогда люди говорят, что подброшенная монета в половине случаев упадет вверх орлом, а в другой половине случаев – решкой? Правда в том, что у нас нет возможности узнать это достоверно. Это вам не «факт Бенджамина Франклина». Если мы хотим проверить, действительно ли шансы составляют «половину», нам следует нанять новоиспеченного пенсионера с массой свободного времени, дать ему монету и попросить подбросить ее много-много раз (можем объяснить, что это трудотерапия). И мы должны проводить этот опыт очень долго, ведь если мы подбросим монетку, скажем, раз восемь, то, скорее всего, получим всевозможные результаты. Мы можем шесть раз выбросить орла и только два раза – решку; или семь раз – орла, а решку – лишь однажды или наоборот; или выбросить и орла, и решку по четыре раза или в любом другом сочетании. И тем не менее, если подбросить монетку тысячу раз, итоговое соотношение составит примерно 1:1 – орел и решка выпадут примерно по 500 раз. А если в итоге мы получим 600 орлов и 400 решек, то можем заподозрить, что монета была повреждена – и именно из-за этого повреждения шанс того, что она упадет на одну сторону, больше, чем шанс того, что она упадет на другую. В этом случае можно предположить, что вероятность выбросить решку составит примерно 0,6.