Александр Ивин - Логика. Элементарный курс. Учебное пособие

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в её основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого её можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и её в конце концов удаётся раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

«За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями», – пишет А.Френкель. «Похоже на то, – заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, – что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы».

Устранение и объяснение парадоксов

Следует обратить внимание на одно важное различие.

Устранение парадоксов и их разрешение – это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории – значит перестроить её так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое её звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.

Но это ещё не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.

Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишённым твёрдых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.

Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определённая гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.

Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».

И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.

Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?

Логическая грамматика

Один путь – это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным – оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.

Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.

Основная идея теории типов – выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму – множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определённые ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств – свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.