Юрий Конобеев - Физики продолжают шутить

— Ну, кажется, мы на пороге великого открытия.

Бор с женой и молодым голландским физиком Казимиром возвращались поздним вечером из гостей. Казимир был завзятым альпинистом и с увлечением рассказывал о скалолазании, а затем предложил продемонстрировать своё мастерство, избрав для этого стену дома, мимо которого вся компания в тот момент проходила. Когда он, цепляясь за выступы стены, поднялся уже выше второго этажа, за ним, раззадорившись, двинулся и Бор. Маргарита Бор с тревогой наблюдала за ними с низу. В это время послышались свистки и к дому подбежало несколько полицейских. Здание оказалось отделением банка.

Посетив Гёттинген, Бор пригласил двадцатипятилетнего Гейзенберга на работу в Копенгаген. На следующий день во время обеда в честь Бора к нему подошли два полицейских и, предъявив обвинение «в похищении несовершеннолетних», арестовали его. Это были переодетые студенты университета.

Paнее было высказано мнение, что система дверных ключей в нашем институте сложнее, чем теория поля. Это явное извращение фактов, и чтобы его опровергнуть, в настоящем сообщении мы излагаем упрощённую теоретическую схему, на основе которой создавалась эта система.

Начнём с определений.

Ключ состоит из стержня , на котором укреплены штифты .

Замок состоит из щели с отверстиями , расположенными соответственно позициям штифтов на стержне ключа. Кроме того, в замке имеется система рычажков , находящихся позади отверстий (см. рисунок).

Введём теперь следующие три аксиомы:

1. Штифты поворачивают рычажки; для того чтобы замок открылся, все рычажки в замке должны быть повёрнуты.

2. Если в данной позиции нет штифта, отверстия или рычажка, мы будем говорить в дальнейшем о наличии в данной позиции антиштифта, антиотверстия или антирычажка соответственно.

3. Ни в одном замке нет рычажков за антиотверстиями, ибо такой замок нельзя было бы открыть.

Пусть штифты, отверстия и рычажки описываются значением 1 переменных a i , b i и c i соответственно. Индекс i — номер позиции. Антиштифты, антиотверстия и антирычажки соответствуют значению 0 тех же переменных. Определим теперь матричное умножение следующим способом:

где символическое произведение abc = a , если одновременно c ≤ b и а ≥ с , в противном случае abc = 1 — a . Отсюда следует, что если ( a 1 , a 2 …a k ) есть собственный вектор оператора

то ключ может отпереть замок.

Используя этот формализм, легко найти полное число ключей, которые открывают данный замок . Оно равно

а число замков, которые могут быть открыты данным ключом (а) , равно

При получении этих выражений учитывался тот факт, что замок есть тривиальный антизамок. В уравнениях (2) и (3) k есть сумма коэффициентов Клебша-Гордана, равная единице.

Развитый выше формализм позволил решить следующую задачу. Пусть некто хочет пройти из некоторой комнаты A через несколько дверей в произвольную комнату B . Число ключей, необходимое для этого, максимизировалось при произвольном выборе комнат A и B . (Проблема минимизации не решалась, поскольку её решение тривиально — одинаковые замки.) Затем сотрудники института были разбиты на ряд подгрупп, и система ключей строилась таким образом, чтобы одновременно выполнялись два условия:

1) ни одна подгруппа не в состоянии открыть все те замки, которые могут быть открыты любой другой подгруппой;

2) трансформационные свойства групп соответствуют возможности одалживания ключей.

Создатели системы ключей надеялись, что она является единственно возможной и полной, и до известной степени это справедливо. Однако оказалось, что ключи, которые не должны были бы открывать некоторые двери, открывают их, если их вставлять в замок не до конца. Например, ключ (11111) может открыть замок в n = 5 различных положениях. Число n было названо странностью системы ключ — замок. Экспериментальными исследованиями было найдено, что наша система ключей является весьма странной. Однако этот недостаток можно исправить, если потребовать для последней позиции соблюдения равенств a k = b k = c k = 1 . Будем надеяться, что при ближайшем пересмотре системы ключей в неё будет внесено это исправление.