Александр Ивин - По законам логики

Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства. Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.

О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, что неприложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально,

Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.

Б. Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса.

Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера этой деревни: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.

Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять «деревенский брадобрей», на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.

Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс.

Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К 1включающий все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием K 1появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что K 1не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов — самого себя. Включив в K 1это упоминание о нем самом, получим каталог К 2. В нем упоминается К 1но не сам К 2.

Добавив к К 2такое упоминание, получим К 3, который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее без конца.

Интересный логический парадокс был открыт немецкими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном («парадокс Греллинга»). Этот парадокс можно сформулировать очень просто.

Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» — само многосложное, а «пятислоговое» само имеет пять слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называются самозначными, или аутологическими. Подобных слов не так много, в подавляющем большинстве прилагательные не обладают называемым каждым из них свойством. «Новое» не является, конечно, новым, «горячее» — горячим, «одно-слоговое» — состоящим из одного слоге, а «английское» — английским. Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются инозначными или гетерологическими. Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.